Главная Обратная связь

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






Условный экстремум функции многих переменных



Пусть - функция независимых аргументов и задано уравнений, связывающих аргументы функции ( ):

. Такие уравнения называются уравнениями связи.

Точка , координаты которой удовлетворяют всем уравнениям связи, называется точкой условного максимума (минимума) функции , если существует окрестность точки , для всех точек которой, удовлетворяющих уравнениям связи, выполняется неравенство: ( ).

Например, пусть задана функция трех переменных и уравнение связи . Геометрически это означает, что экстремум функции ищется среди точек расположенных на поверхности, задаваемой уравнением . Если записать еще одно уравнение связи , то геометрически это будет означать, что экстремум функции разыскивается на кривой линии, которая является пересечением поверхности и поверхности .

Задача нахождения условного экстремума сводится к исследованию на обычный экстремум функции Лагранжа:

,

где - постоянные, так называемые множители Лагранжа .

Таким образом, возможные точки условного экстремума находят из системы n+m уравнений:

 

Наличие или отсутствие экстремума в найденных стационарных точках устанавливают с помощью достаточных признаков, применяя их к функции Лагранжа.

Задача на условный экстремум возникает, в частности, тогда, когда необходимо найти наибольшее и наименьшее значение функции на границе какой-либо области.

Для отыскания глобального экстремума функции многих переменных заданной в замкнутой области надо:

1) Найти все стационарные точки функции в этой области и точки, в которых она не дифференцируема.

2) Вычислить значение функции во всех этих точках.

3) Используя уравнения связи, которые задают границы области, составить функцию Лагранжа и решить задачу на условный экстремум функции, то есть найти максимальное и минимальное значение функции на границе области.

4) Выбрать наибольшее и наименьшее значение среди набора чисел, полученных в пунктах 2 и 3.

Расчетно-графическая работа. Задания

1. Найти пределы, не используя правило Лопиталя (табл. 1).

2. Найти производные первого порядка явно заданных функций

(табл. 2, а), б), в)) и производную второго порядка (табл. 2, г)).

3. Найти производную первого порядка (для нечетных вариантов) и второго порядка (для четных вариантов) неявно заданной функции (табл. 3).

4. Найти производную первого порядка (для четных вариантов) и второго порядка (для нечетных вариантов) параметрически заданной функции (табл. 4).



5. Выполнить задание на исследование функции (табл. 5).

6. Найти частные производные первого порядка для явно и неявно заданных функций многих переменных (табл. 6).

7. Исследовать на экстремум функцию двух переменных (табл. 7).

 

Пример выполнения контрольной работы №3. Вариант №0

№ 1. Найти пределы, не используя правило Лопиталя:

А) ; Б) ; В) .

№2. Найти производные явно заданных функций:

А) ?

Б) ?

В) ?

Г) ?

№3. Найти вторую производную неявно заданной функции :

?

№4. Найти вторую производную параметрически заданной функции :

?

№5. Найти точки экстремума и точки перегиба функции .

Указать промежутки монотонности, промежутки выпуклости и вогнутости графика функции.

№6. Найти частные производные первого порядка функции многих переменных:

№7. Исследовать функцию на экстремум:

Решение варианта №0.

Задание № 1.

Найти пределы, не пользуясь правилом Лопиталя:

А) ; Б) ; В) .

Решение:

. При подстановке получаем неопределенность « ». Следовательно, - корень многочленов в числителе и знаменателе. Разложим их на множители: по теореме Виета .

Следовательно, .

, по теореме Виета , .

Получаем .

Тогда: .

 

.

При подстановке получаем неопределенность « ». Применим формулу

понижения степени в знаменателе и умножим числитель и знаменатель на :

 

 

. При подстановке получаем неопределенность . Преобразуем подпредельное выражение так, чтобы можно было воспользоваться вторым замечательным пределом: , где - некоторая непрерывная функция.

Ответ: , , .

 

Задание №2



Найти производные явно заданных функций:

а) ?

б) ?

в) ?

г) ?

Решение:

.

Воспользуемся правилами дифференцирования и таблицей производных основных элементарных функций.

 

=

.

Воспользуемся правилами дифференцирования и формулой производной для сложной функции .

.

Данная функция является степенно-показательной. Применим формулу логарифмического дифференцирования :

= .

Для нахождения второй производной необходимо найти первую производную.

Задание № 3.

Найти вторую производную неявно заданной функции :

Решение: Продифференцируем по правую и левую части уравнения, определяющего неявно заданную функцию, считая что неизвестная функция:

;

Выразим :

- первая производная неявно заданной функции.

Продифференцируем полученную первую производную повторно:

, .

Подставим в :

 

Таким образом, - искомая вторая производная.

Задание №4.

Найти вторую производную параметрически заданной функции :

Решение:

Для нахождения второй производной необходимо прежде найти первую производную по формуле

Получаем

-первая производная данной функции.

Найдем вторую производную по формуле:

.

.

Ответ: , где -искомая вторая производная.

 

Задание №5.

Найти точки экстремума и точки перегиба функции .

Указать промежутки монотонности, промежутки выпуклости и вогнутости графика функции.

Решение:

Заметим, что область допустимых значений аргумента: . Для отыскания точек экстремума найдём первоначально критические точки функции: ,

при , т. е. при , - не существует при .

 

Очевидно, что при переходе через точку первая производная меняет свой знак с «-» на «+». А при переходе через точку не меняет знака. Значит, функция убывает на интервале ; возрастает на интервалах и точка минимума , локальный минимум:

Для нахождения точек перегиба найдём вторую производную данной функции:

при , .

- не существует при .

При переходе через точку вторая производная меняет свой знак с «+» на «-». А при переходе через точку с «-» на «+».

Таким образом, график функции выпуклый на интервале , вогнутый на интервалах и имеет две точки перегиба и .

Ответ: - точка экстремума, , - точки перегиба.

Функция: возрастает на интервалах ,

убывает на интервале .

График функции: выпуклый на интервале ,

Вогнутый .

Задание №6.

Найти частные производные первого порядка функции многих переменных:

а)

б)

Решение: а) - функция трёх переменных . При нахождении частной производной функции по переменной , считаем, что являются константами:

.

Аналогично, при нахождении частной производной функции по переменной , считаем, что являются константами:

Теперь, при нахождении частной производной считаем, что являются константами:

 

б) Для отыскания частных производных неявно заданной функции двух переменных используют формулы: и .

Так как , то следовательно,

 

.

.

.

,

.

 

Задание №7.

Исследовать функцию на экстремум.

Решение: Найдём стационарные точки функции:

.

Следовательно, , А(0,0) и В(3,3) - стационарные точки.

Вычислим частные производные второго порядка:

тогда .

Согласно достаточному признаку наличия экстремума в точке для функции двух переменных получим:

· в точке А(0,0): , следовательно точка А не является точкой экстремума.

· в точке В(3,3): и , следовательно точка В является точкой минимума.

.

Ответ: в точке .

Варианты заданий расчетно-графической работы.

Таблица 1. Варианта задания 1.

Вариант а) б) в)

 

 

Таблица 2. Варианты задания 2.

А) Б) В) Г)

 

Таблица 3. Варианты задания 3.

Вариант   ?   Вариант   ?
 
 

 

Таблица 4. Варианты задания 4.

Вариант -? Вариант -?

 

Таблица 5. Варианты задания 5.

Вариант  
Найти промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба графика функции: .
Найти промежутки монотонности и точки экстремума функции: .
Найти наибольшее и наименьшее значения функции: на отрезке .
Найти промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба графика функции: .
Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .
Найти промежутки монотонности и точки экстремума функции .
Найти промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба графика функции .
Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .
Найти точки экстремума и промежутки монотонности графика функции .
Найти промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба графика функции .
Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .
Найти промежутки монотонности и экстремумы функции .
Найти промежутки монотонности и экстремумы функции .
Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .
Найти промежутки монотонности и экстремумы функции .
Найти промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба функции .
Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .
Найти промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба графика функции .
Найти точки перегиба, промежутки выпуклости вогнутости графика функции .
Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

 

Таблица 6. Варианты задания 6.

Вариант а) б)
 
 
 
 
 
 

 

Таблица 7. Варианты задания 7.

Вариант   Вариант  

 

 


Эта страница нарушает авторские права

allrefrs.ru - 2018 год. Все права принадлежат их авторам!