Главная Обратная связь

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






Уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности



Пусть поверхность задана уравнением и пусть функция имеет непрерывные частные производные в окрестности точки , лежащей на поверхности .

Касательной плоскостью к поверхности в точке называется плоскость, в которой лежит всякая касательная, проведенная в точке к любой кривой, лежащей на поверхности и проходящей через точку .

Уравнение касательной плоскости к поверхности имеет вид:

.

 

Нормалью к поверхности в точке называется прямая, проходящая через точку перпендикулярно касательной плоскости.

Уравнение нормали:

.

 

Рис. 2.5.

Например.

.

.

.

.

Экстремум функции многих переменных

Необходимое и достаточное условия экстремума

Определение. Точка называется точкой максимума (минимума) непрерывной функции , если в некоторой окрестности точки , для всех точек этой окрестности выполняется неравенство: (или ). Точки минимума и максимума носят общее название точек экстремума.

Обозначим приращение функции через , тогда можно переформулировать определение экстремума:

Точка называется точкой максимума непрерывной функции , если в некоторой окрестности точки приращение функции строго отрицательно, . Аналогично, - точка минимума, если .

 

Теорема. «Необходимое условие экстремума функции многих переменных». Если дифференцируемая функция достигает в точке экстремума, то все частные производные функции в этой точке обращаются в 0:

.

Так как полный дифференциал функции это сумма произведений частных производных на дифференциалы аргументов, то можно сказать, что необходимым условием экстремума функции многих переменных является равенство нулю полного дифференциала этой функции в точке экстремума:

Точки, в которых выполняется необходимое условие экстремума, называются стационарными. Следовательно, если - точка экстремума функции , то либо - стационарная точка, либо в этой точке функция не дифференцируема.

 

Теорема. «Достаточное условие экстремума функции многих переменных». Трижды дифференцируемая в стационарной точке функция :

1. Имеет в этой точке экстремум, если дифференциал второго порядка функции в точке знакопостоянен и обращается в 0 только при выполнении условия: . Причем, точка является точкой максимума, если и, - точкой минимума, если .

2. Если дифференциал второго порядка меняет знак в окрестности , то точка не является точкой экстремума.



3. Если дифференциал второго порядка не меняет знак в окрестности точки , но обращается в 0 при некоторых наборах значений , среди которых есть отличные от 0, то функция в точке может иметь экстремум, а может и не иметь его ( в этом случае необходимо дополнительное исследование).

 

Достаточные признаки наличия экстремума для функций двух и

Трех переменных

1)Функция двух независимых переменных .

Пусть функция трижды дифференцируема и точка - стационарная, т.е. . Введём обозначения:

,

Тогда:

а) если и , то точка - точка минимума;

б) если и , то точка - точка максимума;

в) если , то точка не является точкой экстремума.

2)Функция трех независимых переменных .

Пусть функция трижды дифференцируема и точка стационарная, т.е. . Обозначим:

и .

Тогда, если:

а) , то - точка минимума;

б) , то - точка максимума;

в) , то - не является точкой экстремума.

Например.

.

,

Воспользуемся достаточным условием экстремума функции трёх переменных, для этого вычислим частные производные второго порядка в точке :

Так как ,то - точка минимума.

. Ответ: в точке .

 


Эта страница нарушает авторские права

allrefrs.ru - 2018 год. Все права принадлежат их авторам!