Главная Обратная связь

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. ПЛОТНОСТЬ ВЕРОЯТНОСТИ



ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ НЕПРЕРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИ.

Функцией распределенияслучайной величины называется функция действительной переменной , определяемая равенством

, (8.1)

где - вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее .

Вероятность того, что случайная величина примет значение из полуинтервала , равна разности значений ее функции распределения на концах этого полуинтервала:

. (8.2)

Плотностью распределениявероятностей случайной величины в точке называется предел отношения вероятности попадания значений этой величины в интервал к длине отрезка , когда последняя стремится к нулю:

. (8.3)

График функции f(х) (плотности распределения) называется кривой распределения.

Интеграл от функции f(х) по промежутку (-∞,х) равен значению функции распределения F(x) для верхнего предела интегрирования, т.е.

(8.4)

Вероятность попадания значений случайной величины Х в интервал равна определенному интегралу от плотности распределения p(x) по отрезку , т.е.

(8.5)

Математическое ожидание непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежит всей оси Ох, определяется равенством ,

где f(x) – плотность вероятности. Предполагается, что интеграл сходится абсолютно.

Дисперсия непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат Ох, определяется равенством

или равносильным равенством

Нормальным распределением, или распределением Гаусса, называется распределение с плотностью вероятностей

(8.6)

Постоянные и называются параметрами нормального распределения.

О случайной величине Х, говорят, что она распределена нормально с

параметрами и , и кратко называют ее нормальной. График функции f(x)

называют нормальной кривой.

Вероятность попадания значений нормальной случайной величины Х в интервал определяется формулой

(8.7)

где - функция Лапласа:

(8.8)

Пример 1.В партии из 10 деталей имеется 8 стандартных. Из этой партии наудачу взято 2 детали. Найти функцию распределения дискретной случайной величины, равной числу стандартных деталей в выборке.

Решение.Найдем сначала закон распределения данной случайной величины . Эта величина может принимать три значения:

, ,

.

Следовательно, закон распределения данной случайной величины можно задать таблицей

i
i

Строим функцию распределения.



1. При .

2. При .

3. При .

4. При .

Ответ:

Пример 2. Вес пойманной рыбы подчиняется нормальному закону распределения с параметрами Найти вероятность того, что вес одной рыбы будет: а) от 300 до 425 г; б) не более 450 г; в) больше 300 г.

Решение.Пользуемся формулой (8.20), полагая в ней

а) , поэтому

б) Х<450 находим

в) Х>300 получаем

Ответ :а) 0,9759 , б) 0,9987 , в) 0,9987.

Задачи.

291.Дана функция

Является ли эта функция функцией распределения некоторой случайной величины?

Ответ: не является.

292.Является ли функцией распределения случайной величины функция

?

Ответ: не является.

293.Закон распределения дискретной случайной величины задан следующей таблицей:

0,2 0,4 0,3 0,1

Найти функцию распределения этой случайной величины.

Ответ:

 

294. Случайная величина задана функцией распределения

Найти вероятность того, что в результате испытания случайная величина примет значение, заключенное в интервале (1,2).

Ответ: 0,5.

295. Случайная величина задана функцией распределения

Найти вероятность того, что в результате испытания величина примет значение из интервала (2,3).

Ответ: 1/3.

296. Случайная величина задана функцией распределения

Найти вероятность того, что в результате испытания величина примет значение из интервала (4,5).

Ответ: 0.

297. Трижды подбрасывается симметричная монета. Найти функцию распределения случайной величины , равной числу выпавших гербов.

Ответ:

298.Снайпер стреляет до 1-го попадания. Вероятность промаха при одном выстреле равна P. Найти функцию распределения числа промахов.

Ответ:



 

299. Случайная величина Х распределена по нормальному закону, причем . Найти: а) б)

Ответ: а) 0,135905; б) 0,682690.

300. Случайная величина Х распределена по нормальному закону, причем . Найти , если известно .

Ответ: 0,3.

301. При измерении детали получаются случайные ошибки, подчиненные нормальному закону с параметром . Найти вероятность того, что измерение произведено с ошибкой, не превосходящей 15 мм.

Ответ: 0,866386.

302. Автомат изготавливает подшипники, которые считаются годными, если отклонение Х от проектного размера по модулю не превышает 0,77 мм. Каково наиболее вероятное число годных подшипников из 100, если случайная величина Х распределена нормально с параметром

Ответ: 95

303. Станок-автомат изготавливает валики, контролируя их диаметры Х. Считая, что случайная величина Х распределена нормально, с параметрами , найти интервал, в котором с вероятностью 0,9973 будут заключены диаметры изготовленных валиков.

Ответ: (9,7; 10,3).

304. Независимые случайные величины Х и Y распределены нормально, причем . Записать плотность вероятностей и функцию распределения их суммы.

Ответ: .

305. Независимые случайные величины X,Y,Z распределены нормально, причем . Записать плотность вероятностей и функцию распределения их суммы.

Ответ:

 

306. Функция распределения случайной величины Х имеет вид

Найти ее плотность распределения.

Ответ: .

307. Найти функцию распределения случайной величины Х, плотность вероятности которой определена формулой

Ответ: .

308. Дана функция

При каком значении постоянной с функция f(x) является плотностью распределения вероятностей некоторой случайной величины Х?

Ответ: a.

309. Найти функцию распределения F(x) случайной величины Х, плотность вероятности которой определена функцией

Ответ:

 

310. Плотность распределения вероятностей случайной величины Х определяется функцией

Найти a) значение коэффициента a , б) Найти функцию распределения F(x) величины Х.

Ответ: . б)

311. Задана функция При каком значении а ее можно рассматривать как плотность распределения вероятностей некоторой случайной величины Х?

Ответ:1/2.

312. Случайная величина Х задана функцией распределения

Найти а) плотность распределения величины Х. б) Вычислить вероятность того, что случайная величина Х примет значения из интервала

Ответ: а) , б) 1/4.

313. Случайная величина Х имеет плотность распределения

Найти а) значение параметра с, б)функцию распределения F(x).

Ответ:

 

 

314. Брошены одновременно 2 игральные кости. Случайная величина принимает значение 1, если хотя бы на одной игральной кости выпадает цифра 6; значение 2, если хотя бы на одной из граней появилась четная цифра, но не 6; значение 0 – в остальных случаях. Найти а) функцию распределения ; б) математическое ожидание.

Ответ: а) б) 43/36

315. Из урны, содержащей 6 белых и 4 черных шара, случайным образом и без возвращения извлекают 3 шара. Найти а) функцию распределения случайной величины – числа черных шаров среди взятых; б) математическое ожидание этой случайной величины.

Ответ: а) б) 1,2

316. Для сборки прибора требуется 4 однотипных детали. Всего имеется 6 деталей, из которых только 5 качественных. Найти а) функцию распределения числа качественных деталей среди отобранных 4 деталей;

б) найти вероятность того, что можно будет произвести сборку прибора.

 

Ответ: а) б)1/3

 

317. В театральной кассе к некоторому моменту времени осталось три билета в драматический театр, 5 билетов в театр комедии, 1 билет в оперный театр и 1 билет в театр эстрады. Приобретение покупателем билета в любой из театров равновозможно. Найти функцию распределения числа билетов в драматический театр среди 4 билетов, купленных первыми.

Ответ:

318. Функция распределения случайной величины Х дискретного типа имеет следующий вид:

Найти а) закон распределения , б) математическое ожидание в) дисперсию случайной величины X

Ответ: а)

0,2 0,3 0,5

б) 2.3;в) 0,61

319. Стрелок стреляет по движущейся цели до первого попадания или до израсходования имеющихся 4 патронов. Составить функцию распределения числа израсходованных патронов, если вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,6.

Ответ:

 

320. Среди поступающих на проверку часов 30% имеют отклонения в точности хода. Найти а) функцию распределения числа часов, не имеющих отклонений в точности хода среди 3 наудачу взятых часов; б) вероятность того, что число таких часов не превышает 2.

Ответ:

321.Найтифункцию распределения случайной величины y=3x+2 для заданного ряда распределения случайной величины Х

Xi
Pi 0,1 0,2 0,5 0,2

 

Ответ:

 

 

322. Диаметр изготавливаемой в цехе детали является случайной величиной, распределенной по нормальному закону с парамет­рами а = 4,5 см и = 0,05 см. Найти вероятность того, что размер диа­метра взятой наугад детали отличается от математического ожидания не более чем на 1 мм.

Ответ: 0,9544

323. Случайная величина X распределена по нормальному закону. Математическое ожидание и дисперсия этой величины соответ­ственно равны 7 и 16. Найти вероятность того, что отклонение величины Х отее математического ожидания по модулю не превзойдет двух.

Ответ: 0,3830

324. Среднее квадратическое отклонение случайной вели­чины, распределенной по нормальному закону, равно 2 см, а математи­ческое ожидание равно 16 см. Найти границы, в которых с вероятно­стью 0,95 следует ожидать значение случайной величины.

Ответ. (12,08; 19,92)

325. При изготовлении некоторого изделия его вес X подвержен случайным колебаниям. Стандартный вес изделия равен 30 г, его среднее квадратическое отклонение равно 0,7, а случайная величина X распределена по нормальному закону. Найти вероятность того, что вес наугад выбранного изделия находится в пределах от 28 до 3 1 г.

Ответ: 0,922

326. Линия связи обслуживает 1000 абонентов. Каждый абонент разговаривает в среднем 6 минут в час. Сколько каналов долж­ны иметь линия связи, чтобы с практической достоверностью можно было утверждать, что не произойдет ни одной потери вызова?

Ответ. 130 каналов.

327. При взвешивании получается ошибка, подчиненная нормальному закону с параметром = 20 г. Найдите вероятность того, что взвешива­ние будет произведено с ошибкой, не превосходящей 30г.

Ответ: 0,866

328. Случайная величина X распределена нормально. Найдите Р(35<Х<40), если М(Х)=25 и Р(10<Х<15) = 0,2.

Ответ:0,2

329. Найдите для случайной величины X, распределен­ной по нормальному закону.

Ответ.0,9545

330.Случайная величина X распределена по нормальному закону с параметрами а = 2, = 3. Найдите вероятность того, что эта величина примет значение из интервала (-1, 8).

Ответ. 0,8185

331.Врезультате проверки точности работы прибора установлено, что 80% ошибок не вышло за пределы ±20 мм, а остальные ошибки вышли in эти пределы. Определите среднее квадратическое отклонение ошибок прибора, если известно, что систематических ошибок прибор не дает, а случайные ошибки распределены по нормальному закону.

Ответ: 15,6

332. На станке изготовляются втулки. Длина l втулки представляет собой случайную величину, распределенную по нормальному закону, имеет среднее значение l =20 см и дисперсию = 0,04 см2. Найдите вероятность того, что длина втулки заключена между 19,7 и 20,3 см, т.е. уклонение в ту или в иную сторону не превзойдет 0,3 см. Какую длину изделия можно гарантировать с вероятностью р = 0,95?

Ответ: 0,87; 20 4 см.

333.Результат взвешивания химреактива распределен по нормальному закону со средним квадратическим отклонением веса =0,02г. Какое отклонение массы реактива можно гарантировать с вероятностью 0,2?

Ответ: 0,0032

334.Автомат штампует детали. Контролируется длине детали, которая распределена нормально с математическим ожиданием (проектная длина), равным 50 мм. Среднее квадратическое отклонение равно 3,6 мм. Найти вероятность того, что а) длина наудачу взятой детали заключена в границах от 40 до 55 мм; б) отклонение длины изготовленной детали от проектной по абсолютной величине не превзойдет 5 мм;

Ответ: а) 0,915; б) 0,8355

335. Производится измерение расстояния между 2 пунктами. Случайные ошибки подчинены нормальному закону. Найти вероятность того, что измерение расстояния будет произведено с ошибкой не более 60 мм, если =50мм.

Ответ: 0,7699.

336.Автомат изготавливает шарики для подшипников. Шарик считается годным, если отклонение его диаметра от проектного не превосходит 0,6 мм.

Считая, что диаметр изготовленного шарика есть нормально распределенная величина, среднее квадратическое отклонение которой равно 0,3 мм, найти сколько годных шариков будет среди 100 изготовленных

Ответ 95.

337. Ошибка измерительного прибора – случайная величина, распределения по нормальному закону. Среднее квадратическое отклонение равно 4 мк. Систематическая ошибка отсутствует. Найти вероятность того, что в 6 независимых измерениях ошибка а) превзойдет (по модулю) 3 мк менее 4 раз; б) хотя бы 1 раз окажется в интервале от 0,6 до 2,0 мк.

Ответ: а) 0,5651; б) 0,5717

338. Деталь, изготовленная автоматом, считается годной, если отклонение контролируемого размера от номинала не превышает 10 мм. Точность изготовления деталей характеризуется средним квадратическим отклонением, при данной технологии равным 5 мм. Считая, что отклонение размера детали от номинала есть нормально распределенная случайная величина, найти долю годных деталей, изготовленных автоматом. Какой должна быть точность изготовления, чтобы процент годных деталей повысился до 98?

Ответ: 0,9545; 11,65 мм.

339. Случайная величина Х распределена по нормальному закону N (25; 0,45). В какой интервал попадут ее значения при вероятности 0,9545?

Ответ. [24,1; 25,9].

340. Деталь изготавливается на станке. Ее размер Х представляет собой случайную величину, распределенную по нормальному закону со средним значением 20 см и дисперсией 0,2 см2. Какую относительную точность изделия можно гарантировать с вероятностью 0,95?

Ответ. 4,38%.

341. В нормально распределенной совокупностью 15% значения Х меньше 12 и 40% значений Х больше 19,2. Найти а) среднее значение б) дисперсию этого распределения.

Ответ: а)15,3 ; б) Д(х)=10,6.

342. Ошибка высотомера распределена нормально с параметрами =20 мм, =10мм. Найти вероятность того, что отклонение ошибки от среднего ее значения не превзойдет 5 мм по абсолютной величине.

Ответ: 0,3829

343. Случайная величина Х подчиняется закону N (1; ). известно, что Р (Х<2)=0,99. Вычислить а) М(Х2); б) Р(Х2<2).

Ответ:а)1,43; б) 0,0011

344. Случайная величина Х распределена по закону N (m; ). Найти вероятность того, что отклонение величины Х от ее математического ожидания не превзойдет величины 2 .

Ответ: 0,97725.

345. Диаметр электродвигателя есть нормально распределенная случайная величина с параметрами а = 100 мм и =1,6 мм. Найти вероятность того, что диаметр случайно взятого электродвигателя в интервале (98; 101).

Ответ:0,62835

346. При измерении расстояний до удаленных предметов ошибка подчинена нормальному закону со средним значением, равным 20 м и средним квадратическим отклонением 10м. Определить вероятность того, что измеренное расстояние отклоняется от действительного в ту или иную строну не более, чем на 15м.

Ответ. 0,8664.

347. Изделия, выпускаемые цехом, по своим длинным размерам распределяется по нормальному закону с математическим ожиданием, равным 6 см. Известна вероятность, равная 0,9758, что наудачу взято изделие будет иметь размеры в границах от 5,95 до 6,05 см. Найти дисперсию этой случайной величины.

Ответ.0,0005

348. Длина изготовленной автоматом детали представляет собой случайную величину, распределенную по нормальному закону с параметрами а = 10 см и =0,2 мм. а) Найти вероятность брака, если допустимые размеры детали должны быть 10 0,3 см. б) Какую вероятность длины изготовленной детали можно гарантировать с вероятность 0,9758?

Ответ: а) 0,1336; б) 0,4506.

349. На автомате изготавливают заклепки. Диаметр их головок представляет собой случайную величину Х, распределенную по нормальному закону с параметрами а = 2 мм и 2=0,01мм2. Найти а) вероятность брака, если допустимые размеры головок 2 0,05м. б) Какие размеры диаметра головок заклепки можно гарантировать с вероятностью 0,9545?

Ответ. а) 0,6171; б) 2 0,2

 

 


Эта страница нарушает авторские права

allrefrs.ru - 2017 год. Все права принадлежат их авторам!