Главная Обратная связь

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Их свойства



Определение действительного числа бесконечной десятичной дробью. Плотность Q в R.

Действительные числа - множество чисел вида [a0],а1 a2 а3... где а0ÎZ а123,... Î{0,1,...,9}

Действительное число представляется в виде суммы целой и дробной части:

о],а1 а2 а3...ак (0) = ао + а1/10 + а2/100 + ... +ак/10k = [ао],а1 а2 а3...а’к (9), где а’кк-1

х=[хо],х1 х2 х3...хк...

у=[уо],у1 у2 у3...ук...

х’к - катое приближение икса с недостатком = [хо],х1 х2 х3...хк

у”к - катое приближение игрека с избытком = [уо],у1 у2 у3...ук + 1/10k

х’к+1 > х’к (х’к - монотонно растет)

у”к+1 £ у”k (у”k - не возрастает), т.к. у”к=[уо],у1 у2 у3...ук + 1/10к

у”к+1 = [уо],у1 у2 у3...ук ук+1 + 1/10к+1

у”к - у”к+1 = 1/10к - ук+1 + 1/10к+1 ³ 0

10 - ук+1 - 1 / 10к+1 ³ 0

9 ³ ук+1

Определение: 1) х > у <=> $ к: х’к > у”к

2) х = у <=> х’к не> у”к & у”к не> х’к

По определению получаем, что [1],(0)=[0],(9)

Свойства: 1)" х, у либо х<у, либо х>у, либо х=у

2) х>у & у>z => х>z

3) х не> х

Док-во (2): х>у у>z

х’к>у”к у’m>z”m

n=max{k;m}

х’n³х’к>у”к³у”n у’n³ у’m>z”m³z”n

у”n>у’n => х’n>z”n

Определение: Если АÌR и " х,уÎR $ аÎА: х<а<у, то А плотно в R

Теорема: Q плотно в R.

Доказательство: х > у х’к > у”к х ³ х’к у”к ³ у

х ³ х’к / 2 + х’к / 2 > х’к / 2 + у”к / 2 > у”к / 2 + у”к / 2 > у

Видим: х > х’к / 2 + у”к / 2 > у, где (х’к / 2 + у”к / 2)ÎQ

 

Несчетность множества действительных чисел.

Теорема: R несчетно.

Доказательство от противного:

1«х1=[х1], х11 х12 х13... |

2«х2=[х2], х21 х22 х23... | Пусть здесь нет девяток в периоде

3«х3=[х3], х31 х32 х33... |

... | (*)

к«хк=[хк ], хк1 хк2 хк3... |

... |

Найдем число которого нет в таблице:

с=[с], с1 с2 с3...

[с]¹[х1] => с¹х1

с1 Ï {9;х21} => с¹х2

с2 Ï {9;х32} => с¹х3

...

ск Ï {9;хк+1к} => с¹хк

Таким образом С - число которое отсутствует в таблице (*)

 

Теорема Дедекинда о полноте R

Пусть 1) 0¹АÍR; 2) " aÎA, " bÎB: а<b; 3) АÈB=R, тогда $! сÎR: " aÎA, " bÎB: а£с£b

Замечания: 1) для Q и I не выполняется (между двумя иррациональными всегда одно рациональное следует из теоремы о плотности Q в R)



2) А называют нижним множеством сечения (нижний класс), В называют верхним множеством сечения (верхний класс)

Доказательство:

" aÎA, " bÎB: а<b => A ограничено сверху => $ SupA=m => "bÎB: b³m => B ограничено снизу =>$ InfB=n, m£n

Докажем, что m = n:

Пусть m<n, тогда из теоремы о плотности Q в R следует, что $ сÎQ: m<c<n => cÏА & cÏВ - невозможно по свойству 3 отсюда и из того, что m£n

следует, что m=n если обозначим m=n через c, то получим а£с£b

Докажем, что с единственное(от противного):

Пусть $с’¹с,с’>с (с’<с), так как c=n=InfB=m=SupA=>по опр-нию. "с’>с (с’<с) найдется такое b(a), что b<c’ (a>c’)-противоречие с "aÎA, "bÎB: а£с£b

Лемма о зажатой последовательности (Лемма о двух милиционерах)

Если $n0: "n>n0 xN£yN£zN и $ Lim xN=x, $ Lim zN=z, причем x=z, то $ Lim yN=y => x=y=z.

Доказательство: "n>n0 xN£yN£zN

Возьмем произвольно Е>0, тогда $ n’: "n>n’ xNÎ(х-Е,х+Е) & $ n”: "n>n” zNÎ(х-Е,х+Е) => "n>max{n0,n’,n”} yNÎ(x-E,x+E)

Верхние и нижние грани числовых множеств.

Определение:АÌR mÎR, m - верхняя (нижняя) грань А, если " аÎА а£m (а³m).

Определение:Множество A ограничено сверху (снизу), если существует такое m, что " аÎА, выполняется а£m (а³m).

Определение: SupA=m, если 1) m - верхняя грань A

2) " m’: m’<m => m’ не верхняя грань A



InfA = n, если 1) n - нижняя грань A

2) " n’: n’>n => n’ не нижняя грань A

Определение: SupA=m называется число, такое что: 1) " aÎA a£m

2) "e>0 $ aEÎA, такое, что aE>a-e

InfA = n называется число, такое что: 1) 1) " aÎA a³n

2) "e>0 $ aEÎA, такое, что aE<a+e

Теорема: Любое, непустое ограниченное сверху множество АÌR, имееет точную верхнюю грань, причем единственную.

Доказательство:

Построим на числовой прямой число m и докажем что это точная верхняя грань А.

[m]=max{[a]:aÎA} [[m],[m]+1]ÇA¹Æ=>[m]+1 - верхняя грань A

Отрезок [[m],[m]+1] - разбиваем на 10 частей

m1=max[10*{a-[m]:aÎA}]

m2=max[100*{a-[m],m1:aÎA}]

...

mк=max[10K*{a-[m],m1...mK-1:aÎA}]

[[m],m1...mK, [m],m1...mK + 1/10K]ÇA¹Æ=>[m],m1...mK + 1/10K - верхняя грань A

Докажем, что m=[m],m1...mK - точная верхняя грань и что она единственная:

"к: [m’K,m”K)ÇA¹0; "к "аÎА: а<m”K

Единственность(от противного):

аÎА, пусть а>m”K => $ к: а’K>m”K => а³а’K>m”K - это противоречит ограниченности => a£m

Точная верхняя грань:

Пусть l<m, тогда $ к: m’K>l”K, но так как "к [m’K,m”K) ÇA¹0 => $ аÎ[m’K,m”K) => а>l =>l - не верхняя грань.

Теорема: Любое, непустое ограниченное снизу множество АÌR, имееет точную нижнюю грань, причем единственную.

Рассмотрим множество B{-а: аÎА}, оно ограничено сверху и не пусто => $ -SupB=InfA

 

Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Их свойства.

Определение: Последовательность аN называется бесконечно малой (бм) если ее предел равен нулю ("Е>0 $ n0: n>n0N|<Е)

Теорема: Сумма (разность) бм последовательностей является бм последовательностью.

Доказательство: Пусть Lim aN=Lim bN=0, cN=aN+bN, dN=aN-bN. Так как вне любой эпсилон-окрестности точки 0 (в частности окрестности Е/2) лежит конечное число членов последовательности aN, т.е. $ n’: "n>n’: |aN|<Е/2. Аналогично $ n”: "n>n”: |bN|<Е/2. При n>max{n’,n”} выполнены оба неравен ства |aN|<Е/2 & |bN|<Е/2 => при любом n> max{n’,n”} имеем: |cN|=|aN+bN|£|aN|+|bN|<E/2 + E/2 = E => |dN|=|aN-bN| £ |aN|+|bN|<E/2 + E/2 = E

Теорема: Произведение бм и ограниченной последовательности - бм последовательность.

Доказательство: Пусть aN - бм посл-ть, bN - ограниченная посл-ть zN=aN*bN.

Т.к. bN - ограниченная посл-ть, значит $ такое с: |bN|£с¹0

Т.к. aN - бм посл-ть, значит вне любой Е-окрестности точки 0 (в частности Е/с)лежит конечное число членов посл-ти aN, т.е. $ n0: "n>n0 |aN|<Е/с.Таким образом "n>n0: |zN|=|aN*bN|=|aN|*|bN|<Е/с * с=Е

Следствие: произведение бм посл-тей - тоже бм посл-ть

Теорема: Пусть aN - бм. Если $ n’: "n>n’ последовательностьть |bN|£aN => bN - бм

Доказательство: aN - бм => $ n”: "n>n”: |aN|<Е. Для n>=max{n’,n”} |bN|£|aN|<Е

Определение: Последовательность аN называется бесконечно большой (бб) если "Е>0 $ n0: n>n0N|>Е)

Теорема: Если aN - бм, то 1/aN - бб последовательностьть, обратное тоже верно.

Доказательство:

"=>" aN-бм=>вне любой эпсилон-окрестности точки 0 (в частности 1/Е) находится конечное число членов посл-ти, т.е. $n0: "n>n0 |aN|<1/E =>1/|aN|>Е.

"<=" 1/|aN| - бб последовательность => "Е>0 $ n0: "n>n0 1/|aN|>1/Е => |aN|<Е

Теорема: Пусть aN - бб. Если $ n’: "n>n’ последовательность bN³|aN| => bN - бб.

Доказательство: aN - бб => $ n”: "n>n” |aN|>Е. Для n>max{n’,n”} bN³|aN|>Е

Арифметика пределов

Предложение: Число а является пределом последовательности aN если разность aN-a является бм (обратное тоже верно)

Докозательство: Т.к. Lim aN=a, то |aN-a|<Е. Пусть aN=aN-a. |aN|=|aN-a|<Е

Обратное: Пусть aN=aN-a, т.к. aN - бм => |aN|£Е. |aN|=|aN-a|<Е

Теорема: Если Lim xN=x, Lim yN=y, то:

1. $ Lim (xN+yN) и Lim (xN+yN)=х+у

2. $ Lim (xN*yN) и Lim (xN*yN)=х*у

3. "n yN¹0 & y¹0 => $ Lim (xN/yN) и Lim(xN/yN)=х/у

Доказательство:

Пусть xN=х+aN, aN - бм; yN=у+bN, bN - бм

1) (xN+yN)-(х+у)=aN+bN (По теореме о сумме бм: aN+bN - бм => (xN+yn)-(х+у)-бм, дальше по предложению)

2) xN*yN - х*у = х*aN+у*bN+aN*bN (По теоремам о сумме бм посл-тей и * бм посл-тей на огр. посл-ти получаем: xN*yN - х*у - бм, дальше по предл-нию)

3) xN/yN - х/у = (у*aN-х*bN) / (у*(у+bN))= (у*aN-х*bN) * 1/у * 1/уN доказательство сводится к доказательству утверждения: если уn - сходящаяся не к 0 посл-ть, то 1/уN тоже сходящаяся последовательность: Lim уN=y => по определению предела получаем $ n0: "n>n0 |уn-у|<у/2 (Е=y/2), что равносильно неравенству: у-у/2<уN<у/2+у, откуда получаем: |уN|³уN>у/2.|уN|>у/2=>1/|уN|<2/у => "n: 1/|уN|£max{2/у, 1/у1, 1/у2,...1/уno}

Теорема: Если хN сходится к х, yN сходится к у и $ n0: "n>n0 последовательность хN£уN, то х£у

Доказательство(от противного): Пусть х>у. Из опр. предела "E>0 (в частности Е<(у-х)/2): $n’: "n>n’ |xN-x|<E и $n”: "n>n” |yN-y|<E. Получаем "n>max{n’,n”} все члены посл-ти xN будут лежать в Е-окрестности точки х, а все члены посл-ти уN будут лежать в Е-окрестности точки у, причем

(х-Е,х+Е)Ç(у-Е,у+Е)=Æ. И т.к мы предположили, что х>у, то "n>max{n’,n”}: хNN - противоречие с условием => х£у.


Эта страница нарушает авторские права

allrefrs.ru - 2018 год. Все права принадлежат их авторам!