Главная Обратная связь

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






Функции нескольких переменных



Определение и геометрическая интерпретация функции двух переменных, пример (№ 3138). Простые, повторные и двойной пределы, примеры (№№ 3181, 3182, 3183, 3183.1, 3186, 3187), теорема о связи между простым, повторным и двойным пределами.

Лекция 13. (среда, 16.05.07)

Непрерывность и равномерная непрерывность, определения, связь между ними, липшицируемость как достаточное условие равномерной непрерывности, свойства непрерывной на компакте функции, примеры (№№ 3202, 3203.1, 3203.2).

 

Задача 25. Покажите, что если функция непрерывна по одной

переменной и равномерно относительно этой

переменной непрерывна по другой переменной, то она

непрерывна и по совокупности переменных.

 

Задача 26. Покажите, что если функция непрерывна по одной

переменной и липшицируема по другой переменной,

то она непрерывна и по совокупности переменных.

 

Задача 27. Покажите, что если функция непрерывна по каждой из

двух переменных в отдельности и монотонна по одной

из них, то она непрерывна и по совокупности этих

переменных (теорема Юнга).

 

 

Частные производные первого порядка, определение, геометрическая интерпретация, пример вычисления частных производных в данной точке непосредственно по определению.

Дифференцируемость и дифференциал, определение, геометрическая интерпретация, примеры (проверка непосредственно по определению дифференцируемости многочлена в точке, № 3212.1).

Лекция 14 (пятн., 18.05.07)

Теорема.

 

1) Из дифференцируемости функции в данной точке следуют её непрерывность по совокупности переменных и существование всех частных производных первого порядка в этой точке.

2) Из существования всех частных производных первого порядка в данной точке не следует, вообще говоря, даже непрерывность по совокупности переменных в этой точке.

 

Дифференцирование сложных и неявных функций,

теорема о дифференцируемости композиции дифференцируемых функций, пример (№ 3284), вычисление частных производных неявно заданной функции, пример (№ 3383).

 

Теорема (о достаточных условиях дифференцируемости функции в точке).

Для дифференцируемости функции в точке достаточно, чтобы все её частные производные первого порядка существовали в некоторой окрестности этой точки и были непрерывны в самой точке.

Лекция 15 (среда, 23.05.07)

Частные производные высших порядков, определение и примеры (полином + № 3230), теорема об условиях равенства смешанных производных.



 

Дифференциалы высших порядков, определение и примеры.

Замечание (об инвариантности формы дифференциалов любого порядка при линейном преобразовании).

Формула Тейлора для функции нескольких переменных, её вывод и примеры.

 

 

 

№ 2194 (из сборника задач Б.П.Демидовича). Покажите, что разрывная функция интегрируема на промежутке [0 , 1] .

Решение: Построим график функции

а) используя критерий Лебега.

Так как - счётно, то mЕ = 0 и f(x) Î R[0,1] .

б) используя критерий дю Буа-Реймона.

Так как ,

то pg Е = 0 при всех a < 2 и, следовательно, f(x) Î R[0,1] .

 

в) используя критерий Римана.

Разобьём все «плохие» сегменты [xi-1 , xi] разбиения на две части: те, которые Ì [0 , l] , и все остальные. Тогда разность сумм Дарбу

,

где k - количество «плохих» сегментов, не лежащих целиком на [0 , l] ,

k зависит от l и от s , . Если теперь сначала зафиксировать

l < e/2 , а затем взять d < e/2k , то сумма длин всех «плохих» сегментов разбиения и будет меньше e , как только d(s) будет меньше d .

г) используя критерий Дарбу.

Разобьём все сегменты [xi-1 , xi] разбиения на две части: те, которые Ì [0 , l] ,

и все остальные. Тогда

,

где M - оценка для |f(x)| на [a , b] , k - количество сегментов, не лежащих целиком на [0 , l] и содержащих хотя бы одну из точек 1/n , k зависит от l

и от s , , w - колебание функции f(x) на [a , b] , w £ 2M . Если теперь сначала зафиксировать l < e/4M , а затем взять d < e/2kw , то разность сумм Дарбу и будет меньше e , как только d(s) будет меньше d .



№ 2205 (из сборника задач Б.П.Демидовича). Пусть f(x) Î R[a,b]. Покажите, что тогда и только тогда, когда f(x) = 0 во всех точках x Î [a , b] \ Е .

Решение: “Þ” Пусть . Покажем, что f(x) = 0 во всех точках

x Î [a , b] \ Е . Предположим противное. Пусть f(x0) ¹ 0 в некоторой точке

x0 Î [a , b] непрерывности функции f(x) . Тогда f2(x) > l >0 в некоторой

d–окрестности точки x0 . Поэтому (?!) .

“Ü” Пусть f(x) = 0 во всех точках x Î [a , b] \ Е . Покажем, что тогда . Предположим противное, пусть . Тогда ® l > 0 при D = d(s) ® 0 . Тогда для любого разбиения s сегмента [a , b] найдётся отрезок [xi-1 , xi] , на котором f(x) ≥ mi ≥ l(2b – 2a) > 0 . Тогда отрезок [xi-1 , xi] не содержит ни одной точки непрерывности функции f(x) . Поэтому множество Е всех точек разрыва функции f(x) на [a , b] содержит весь отрезок [xi-1 , xi] и, следовательно, не покрывается никакой конечной или счётной системой интервалов общей длины меньше, чем длина [xi-1 , xi] (?!) .

 

 

Для допуска к экзамену


Эта страница нарушает авторские права

allrefrs.ru - 2018 год. Все права принадлежат их авторам!