Главная Обратная связь

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






Свойства производной по направлению



Функции нескольких переменных

Z=f(x,y)

Для любых x, y ->z

Окрестностью точки на плоскости называется круг с центром в этой точке.

(x-xо)2+(y-yo)2<z2

Ur(Mo) – r – окрестность Mo

r(Mo) – проколотая окрестность

Точка Mo называется внутренней точкой множества D. Точка M называется внутренней если она принадлежит множеству вместе с некоторой своей окрестностью. M1 – граничная точка D если в любой ее окрестности найдутся точки принадлежащие и не принадлежащие. Совокупность граничных точек называется границей. D – граница множества D. M2- изолированная точка множества D, если в некоторой ее окрестности нет других точек множества D кроме ее самой. Множество D называется открытым если состоит только из внутренних точек. множествоD называется замкнутым если содержит все граничные точки.

- замыкание

Множество D называется связным если 2 любые точки множества D можно соединить непрерывной кривой лежащей в D.

Область – открытое связное множество.

Множество называется ограниченным если его можно поместить внутри круга конечного радиуса, в противном случае оно неограниченное. Односвязное множество – если любую замкнутую прямую, лежащую в D можно непрерывной деформацией стянуть в точку не покидая множества D.

 

Непрерывность функции

Функция z = f(x, y) называется непрерывной в точке (xo, yo) если f(x, y) =f(xo, yo) или f=0.

Частные приращения

Дадим приращение аргументу x = xo+ x xf = f(xo+ x, yo) - f(xo, yo)

y = yo+ y yf = f(xo, yo+ y) - f(xo, yo)- полное приращение

 

частные производные

Пример:

 

Полное приращение и полные дифференциалы.

Если полное приращение функции можно записать в виде z = A x+B y+Q( ) где , то линейная часть уравнения (A x+B y) называется полным дифференциалом. Предположим что функция z=f(x,y) имеет непрерывные частные производные в U(xo, yo). Дадим приращение независимым переменным xо xo+ x,

y yo+ y z = f(xo+ x, yo+ y)- f(xo, yo)=( f(xo+ x, yo+ y)- f(xo, yo+ y))+ (f(xo, yo+ y)- f(xo, yo)=

( по теореме Логранта

(xo+ x, yo+ y)

)

=

где

x = dx

y = dy

 

f(x,y)-f(xo, yo)

 

 

Свойства функции непрерывной на замкнутом множестве

Функция z=f(x,y) имеет наибольшее значение на D в точках xo, yo если

f(xo, yo) f(x,y)

??????????????????????????

f(xo, yo) f(x,y)

 



1) f(x,y) непрерывна на то

: f(xo, yo) f(x,y)

: f(x1, y1) f(x,y)

2) f(x,y) непрерывна на то

M = наибольшее f(x,y)

M = наименьшее f(x,y)

 

 

Частная производная сложной функции

Z = f(u,v)

u = u(x,y)

v = v(x,y)

Пример

 

Полная производная

z=z(x,y,t)

x=x(t)

y=y(t)

Производные неявной функции

F(x,y)=0 (*) задает неявную функцию в окрестности точки (xo,yo)

F(xo,yo)=0

Будем считать что функция F имеет непрерывные частные производные в U(xo,yo), (xo,yo)

x = xo+ x y = yo+ y

F(xo+ x, yo+ y)=0

F= F(xo+ x, yo+ y) - F(xo,yo)=0

Пример

 

Частные производные неявной функции

F(x,y,z)=0 (**)

Z=z(x,y)

xyz-a3=0

 

 

Производные высших порядков.

 

 

z=z(x,y) - ? ,

- ? yx , y2 ,

 

 

 

 

Теорема.

непрерывна в .

, , , непрерывны в .

 

Доказать:

.

 

Скалярное поле.

 

- поверхность уровня.

 

- линия уровня.

 

 

Производная по направлению.

непрерывна.

непрерывны.

 


; ;


 

Определение.

Производной U по направлению s называется:

 

 

 

 

 

 

 

Свойства производной по направлению.

 

1. Частные производные являются частным случаем производной по направлению.

 


 

2.

 

3.

 

Производная по направлению показывает скорость изменения функции в данном направлении.



 

Градиент показывает направление максимального изменения.

 

4. В каждой точке пространства градиент перпендикулярен поверхности уровня.

 

- скалярное поле.

- линия уровня.

 

 

 

 

 

||

 

 

 


Эта страница нарушает авторские права

allrefrs.ru - 2017 год. Все права принадлежат их авторам!