Главная Обратная связь

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






Эффективность и качество функционирования разновидностей СМО



 

Одноканальная СМО содержит один канал (n = 1), и на ее вход поступает пуассоновский поток заявок Пвх , интенсивность (среднее число событий в единицу времени) которого inПвх = l. Так как интенсивность входящего потока может изменяться во времени, то вместо l записывают l(t). Тогда время обслуживания каналом одной заявки Тоб распределено по показательному закону и записывается в виде: f(t) = l . el-1 , где l - интенсивность отказов.

Состояние СМО характеризуется простаиванием или занятостью ее канала, т.е. двумя состояниями: S0 - канал свободен и простаивает, S1 - канал занят. Переход системы из состояния S0 в состояние S1 осуществляется под воздействием входящего потока заявок Пвх , а из состояния S1 в состояние S0 систему переводит поток обслуживания Поб: если в данный момент времени система находится в некотором состоянии, то с наступлением первого после данного момента времени СМО переходит в другое состояние. Плотности вероятностей перехода из состояния S0 в S1 и обратно равны соответственно l и m. На рисунке 3.2 приведен граф состояний подобной СМО с двумя возможными состояниями.

  Рисунок 3.2 - Граф состояний одноканальной СМО  

Для многоканальной СМО с отказами (n > 1)при тех же условиях состояния системы обозначим по числу занятых каналов (по числу заявок, находящихся в системе под обслуживанием, так как каждый канал в СМО либо свободен, либо обслуживает только одну заявку). Таким образом, подобная СМО может находиться в одном из следующих (n + 1) состояний:

S0 - все n каналов свободны; S1 - занят только один из каналов, остальные (n - 1) каналов свободны; Si - заняты i каналов, (n - i) каналов свободны; Sn - заняты все n каналов. Граф состояний такой СМО приведен на рисунке 3.3.

                   
   
ln1 = l
 
   
l12 = l
 
li,n-1 = l
 
       
 
 

 

 


Sn
Sn-1
S0
S1
. . .

 

                               
     
     
 
 
 
 
   
l10 = m
     
l21 = m
 
l n-1, n-2 = (n-1)m
 
l n, n-1 = m
 



 


Рисунок 3.3 - Граф состояний многоканальной СМО

 

Характеристики эффективности функционирования одноканальной СМО приведены в таблицах 3.1 и 3.2.

 

Таблица 3.1

Характеристики эффективности функционирования одноканальной СМО с отказами

Характеристика в момент времени t Обозначения, формулы
1.Вероятность того, что канал свободен
2.Вероятность того, что поступившая заявка будет принята к обслуживанию
3.Вероятность занятости канала
4.Вероятность отказа заявке
5.Относительная пропускная способность СМО (средняя доля обслуженных заявок среди поступивших)    
6.Абсолютная пропускная споссобность СМО (среднее число обслуживаемых заявок за единицу времени)    
7.Интенсивность выходящего потока Пвых обслуженных заявок
8.Среднее время обслуживания заявок
9.Среднее время пребывания заявки в системе

 

Таблица 3.2

Предельные характеристики эффективности функционирования одноканальной СМО с отказами

Характеристика в момент времени t Обозначения, формулы
1.Вероятность того, что канал свободен
2.Вероятность того, что поступившая заявка будет принята к обслуживанию
3.Вероятность занятости канала
4.Вероятность отказа заявке
5.Относительная пропускная способность СМО (средняя доля обслуженных заявок среди поступивших)    
6.Абсолютная пропускная споссобность СМО (среднее число обслуживаемых заявок за единицу времени)
7.Интенсивность выходящего потока Пвых обслуженных заявок
8.Среднее время обслуживания заявок
9.Среднее время пребывания заявки в системе

 



Рассмотрим примеры применения СМО с отказами для оценки эффективности деятельности субъектов рынка на ряде следующих примеров.

Пример 3.1. Пусть на телефонную линию филиала банка производительностью m = 0,8 вызовов/мин и простейшим потоком обслуживания поступает простейший поток вызовов клиентов с интенсивностью l = 0,9 вызовов/мин. Определить предельные значения относительной пропускной способности Q, абсолютной пропускной способности А и вероятности отказа ротк телефонной линии, влияющие на итоговый доход филиала. Определить также среднее время обслуживания одного вызова, среднее время простоя канала и вероятность того, что канал свободен или занят.

Решение:

Так как математической моделью телефонной линии является одноканальная СМО с отказами, характеризующаяся параметрами - интенсивностью входящего потока inПвх = l = 0,9 и интенсивностью потока обслуживания inПоб = m = 0,8, то можно по формуле из таблицы 3.2 определить предельную вероятность отказа так:

ротк = l/(l+m) = 0,9/(0,9+0,8) = 0,9/1,7 = 0,529, или 52,9 %.

Т.е., в установившемся предельном режиме их каждых 100 заявок в среднем 3 получают отказ.

Далее определим предельное значение относительной Q и абсолютной А пропускной способности СМО, используя формулы таблицы 3.2:

Q = 1 - ротк = 1 - 0,529 = 0,471;

А = l , Q = 0,9 , 0,471 = 0,424.

Итак, из расчета следует, что случайный характер поступления телефонных вызовов и случайный характер длительности разговоров порождают ситуацию, что абсолютная пропускная способность А = 0,424 разговора/мин почти в два раза меньше производительности телефонной линии m = 0,8 вызовов/мин (0,8 : 0,424 = 1,88).

Определим:

а) среднее время обслуживания (в мин) Тоб:

Тоб = 1/m = 1/0,8 = 1,25 мин;

б) среднее время простоя канала Тпр (в мин):

Тпр = 1/l = 1/0,9 = 1,11 мин;

в) вероятность того, что канал свободен:

р0 = Тпр/(Тоб + Тпр) = 1,11/(1,25 + 1,11) = 0,47,

или р0 = m/(l + m) = 0,8/(0,9 + 0,8) = 0,47;

г)вероятность того, что канал занят р1:

р1 = 1 - р0 = l/(l + m) = 0,529, или

р1 = Тоб/(Тоб + Тпр) = 1,25/(1,25 + 1,11) = 0,529.

Таким образом, вероятность того, что канал занят, больше вероятности того, что канал свободен, т.е. р1 > р0 , и этого следовало ожидать, так как интенсивность входящего потока l = 0,9 больше интенсивности производительности канала m = 0,8.

 

Пример 3.2. Пусть банк принимает решение об открытии своего филиала в городе N, рассматривая его как многоканальную СМО с отказами и равномерной взаимопомощью между каналами, на вход которой поступает простейший поток заявок с интенсивностью l. Производительность каждого канала равна m. Обслуживание одной заявки (клиента) приносит средний доход С1. Создание одного канала обслуживания (оператора) требует средних издержек С2, а эксплуатация одного канала в единицу времени - С3. Требуется определить время t, через которое филиал банка (система) начнет приносить прибыль.

 

Решение:

Пусть случайный процесс, протекающий в СМО, перешел в предельный стационарный режим. Тогда СМО начнет приносить доход лишь в случае, если средний доход от обслуживания заявок одним каналом в единицу времени превысит средние издержки эксплуатации одного канала в единицу времени. Из условия задачи это условие имеет вид: С1 , m > С3.

Средний доход, приносимый СМО за время t ее эксплуатации в предельном режиме, можно определить как А , С1 , t, где А - абсолютная пропускная способность СМО (среднее число заявок, обслуживаемых за время эксплуатации t. Абсолютная пропускная способность А определяется по формуле:

А = m , Кср, (3.1)

где: Кср - среднее число занятых каналов.

Средний доход D(t) за время t составит:

D(t) = С1 , m , Кср , t, t ³ 0. (3.2)

Если использовать графическую интерпретацию задачи (рис.3.1), то график D(t) представляет собой прямую (1), проходящую через начало координат под углом a, причем tg(a) = С1 , m , Кср.

 

    Рисунок 3.1 - Зависимость между доходом (1), средними издержками (2) и средней прибыльностью (3)  

 

Средние издержки за это же время Сср(t), состоящие из издержек (C2n) на создание n каналов и средних издержек (C3 . Кср . t) на их эксплуатацию за время t, соответственно составят:

 

Сср(t) = С3 , Кср , t + С2 , n . (3.3)

 

На графике средние издержки Сср(t) от СМО представляют собой прямую (2), проходящую через точки A(0;C2 . n) и В(1;С3 , Кср + С2 , n) под углом b, причем tg(b) = C3 . Kср.

Так как tg(b) < tg(a) и, следовательно, b < a, то прямые (1) и (2) пересекутся между собой в первом квадранте. Абсциссу t0 точки пересечения В, в которой средний доход равняется средним издержкам, можно определить из равенства: D(t0) = Сср(t0), т.е.:

 

С1 , m , Кср , t0 = С3 , m , Кср , t0 + С2 , n . (3.4)

Откуда получаем:

(3.5)

Таким образом, точка В выступает точкой безубыточности, т.е. через время t0 СМО начнет приносить среднюю прибыль Рср, равную:

Рср(t) = Dср(t) - Сср(t) = (С1 , m - С3) , Кср , t - С2 , n . (3.6)

Если прямая средней прибыли (прямая 3) пересекается с прямой средних издержек (прямой 2), то абсцисса t1 точки пересечения Е определяется из равенства:

Рср(t1) = Сср(t1) (3.7)

 

или С1 , m , Кср , t1 - С3 , Кср , t1 - С2 , n = С3 , Кср , t1 + С2 , n , (3.8)

откуда:

. (3.9)

Так как t1 > 0, то из вышеприведенного соотношения имеем:

С1 , m - 2 . С3 > 0, откуда С1 , m > 2 . С3 .

Сравнив ординаты точек В и Е, получим, что в момент времени t1 средний доход вдвое больше средних издержек.

Если же условие С1 , m > 2 . С3 не выполняется, т.е. С1 , m £ 2 . С3 , то прямые (2) и (3) в первом квадранте не пересекаются. Если С1 , m = 2 . С3, то эти прямые параллельны.

 

Задание 3.1.

Пусть на телефонную линию филиала банка производительностью m вызовов/мин и простейшим потоком обслуживания поступает простейший поток вызовов клиентов с интенсивностью l вызовов/мин.

Разработать имитационную модель для исследования характеристик эффективности функционирования системы массового обслуживания в зависимости от параметра - время. Построить графические зависимости характеристик эффективности функционирования системы массового обслуживания - телефонной линии (исходные данные в таблице 3.1).

Определить предельные значения относительной пропускной способности Q, абсолютной пропускной способности А и вероятности отказа ротк телефонной линии, влияющие на итоговый доход филиала. Определить также среднее время обслуживания одного вызова, среднее время простоя канала и вероятность того, что канал свободен или занят.

 

Таблица 3.1

Исходные данные к заданию 3.1

Вариант задания Проиводитель-ность m вызовов/мин Интенсивность l вызовов/мин Диапазон изменения времени t, мин
Вариант № 1 0,75 - 0,79 0,80 - 0,85 от 10 до 40
Вариант № 2 0,85 - 0,90 0,91 – 0,95 от 20 до 60
Вариант № 3 0,80 - 0,85 0,87 – 0,90 от 30 до 50
Вариант № 4 0,80 - 0,90 0,91 – 0,95 от 15 до 30
Вариант № 5 0,75 - 0,80 0,85 – 0,90 от 25 до 50
Вариант № 6 0,70 - 0,75 0,80 – 0,85 от 10 до 30
Вариант № 7 0,75 - 0,85 0,90 – 0,95 от 15 до 35
Вариант № 8 0,70 – 0,75 0,80 – 0,85 от 20 до 60
Вариант № 9 0, 65 - 0,75 0,77 – 0,85 от 10 до 60
Вариант № 10 0,65 - 0,70 0,75 – 0,80 от 20 до 50
Вариант № 11 0,76 - 0,80 0,81 - 0,87 от 20 до 50
Вариант № 12 0,86 - 0,92 0,92 – 0,97 от 30 до 60
Вариант № 13 0,81 - 0,87 0,88 – 0,92 от 20 до 40
Вариант № 14 0,81 - 0,92 0,92 – 0,97 от 10 до 30
Вариант № 15 0,76 - 0,82 0,86 – 0,92 от 20 до 60
Вариант № 16 0,71 - 0,77 0,81 – 0,87 от 20 до 50
Вариант № 17 0,76 - 0,87 0,91 – 0,97 от 20 до 55
Вариант № 18 0,71 – 0,77 0,81 – 0,87 от 10 до 50
Вариант № 19 0, 66 - 0,77 0,78 – 0,87 от 20 до 60
Вариант № 20 0,66 - 0,72 0,76 – 0,82 от 15 до 55
Вариант № 21 0,70 - 0,75 0,79 - 0,85 от 0 до 30
Вариант № 22 0,80 - 0,85 0,87 – 0,93 от 10 до 30
Вариант № 23 0,75 - 0,80 0,83 – 0,89 от 20 до 40
Вариант № 24 0,75 - 0,85 0,87 – 0,93 от 25 до 55
Вариант № 25 0,70 - 0,75 0,80 – 0,85 от 25 до 45
Вариант № 26 0,65 - 0,70 0,73 – 0,77 от 15 до 50
Вариант № 27 0,70 - 0,80 0,85 – 0,90 от 15 до 45
Вариант № 28 0,65 – 0,75 0,79 – 0,84 от 20 до 40
Вариант № 29 0, 60 - 0,75 0,78 – 0,83 от 5 до 35
Вариант № 30 0,70 - 0,85 0,87 – 0,91 от 5 до 25

 

Задание 3.2

 

Разработать имитационную модель многоканальной системы массового обслуживания банка (n - количество каналов), открывающего филиал в другом городе. На вход СМО поступает поток заявок (Kср - среднее число занятых каналов). Производительность каждого канала равна m. Обслуживание одной заявки (клиента) приносит средний доход С1. Создание одного канала обслуживания (оператора) требует средних издержек С2, а эксплуатация одного канала в единицу времени - С3. С использованием имитационной модели определить время t, через которое филиал банка (система) начнет приносить прибыль.

Представить графическую интерпретацию задачи и определить пути повышения эффективности функционирования СМО банка. Исходные данные представлены в таблице 3.2.

Таблица 3.2

Исходные данные к заданию 3.2

Вариант n m Kср С1 С2 С3
Вариант № 1 0,8 0,3
Вариант№ 2 0,75 0,4
Вариант № 3 0,7 0,5
Вариант № 4 0,65 0,5
Вариант № 5 0,75 0,6
Вариант № 6 0,65 0,7
Вариант № 7 0,85 0,6
Вариант № 8 0,75 0,55
Вариант № 9 0,8 0,5
Вариант № 10 0,7 0,45
Вариант № 11 0,75 0,25
Вариант № 12 0,7 0,25
Вариант № 13 0,7 0,35
Вариант № 14 0,77 0,38
Вариант № 15 0,79 0,45
Вариант № 16 0,8 0,55
Вариант № 17 0,7 0,25
Вариант № 18 0,75 0,25
Вариант № 19 0,71 0,2
Вариант № 20 0,68 0,3
Вариант № 21 0,6 0,35
Вариант № 22 0,65 0,35
Вариант № 23 0,6 0,45
Вариант № 24 0,6 0,45
Вариант № 25 0,65 0,5
Вариант № 26 0,75 0,5
Вариант № 27 0,75 0,35
Вариант № 28 0,7 0,45
Вариант № 29 0,85 0,55
Вариант № 30 0,8 0,35

 

 


Эта страница нарушает авторские права

allrefrs.ru - 2017 год. Все права принадлежат их авторам!