Главная Обратная связь

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






Функции нескольких переменных. Кратные интегралы. Теория поля



 

Основные теоретические сведения

 

1. Частной производной первого порядка функции двух переменных по аргументу называется предел

.

Обозначение: , . Нахождение сводится к дифференцированию функции одной переменной , полученной при фиксировании аргумента

 

2. Скалярным полем называется скалярная функция точки вместе с областью ее определения.

Скалярное поле характеризуется градиентом

и производной по направлению :

,

где – координаты единичного вектора направления .

 

3. Вычисление двойного интеграла от функции , определенной в области , сводится к вычислению двукратного интеграла вида

, (1)

где область определяется условиями , или вида

, (2)

если область определяется условиями , .

Переход от равенства (1) к (2) или обратно называется изменением порядка интегрирования.

 

4. Векторным полем называется векторная функция точки :

.

Векторное поле характеризуется скалярной величиной – дивергенцией:

и векторной величиной – ротором:

.

Векторное поле называется соленоидальным, если в каждой точке этой области .

Векторное поле называется потенциальным в области , если в каждой этой области .

Для потенциального векторного поля справедлива формула для нахождения потенциальной функции

,

где – фиксированная точка области , – любая точка области – произвольная постоянная.

Потоком векторного поля через двустороннюю поверхность называется поверхностный интеграл

, (3)

где – единичный вектор нормали вдоль , . Если поверхность задается уравнением , то

,

причем знак в правой части берется так, чтобы получить нормальный вектор к выбранной стороне поверхности.

Для вычисления интеграла (3) удобно проектировать поверхность на одну из координатных плоскостей. Пусть, например, взаимно однозначно проектируется на , тогда

.

Если взаимно однозначно проектируется на или , то

или .

Иногда вычисление потока проводят методом проектирования на все три координатные плоскости :

,

каждое слагаемое вычисляется отдельно посредством проектирования на соответствующую координатную плоскость.

Формула Остроградского устанавливает связь между потоком векторного поля через замкнутую поверхность и дивергенцию поля :

.

 

5. Циркуляция векторного поля по замкнутой кривой называется криволинейный интеграл

,

где .



 

6. Формула Стокса устанавливает связь между циркуляцией векторного поля и его ротором:

,

где – поверхность, ограниченная замкнутым контуром , – единичный вектор нормали к этой поверхности. Направление нормали должно быть согласно с направлением обхода контура .

 

Пример 1.Найти наибольшее и наименьшее значения функции в треугольнике, ограниченном прямыми , , .

Решение. Найдем стационарные точки, лежащие внутри данного треугольника:

Приравнивая частные производные нулю, можно на и сократить, так как внутри треугольника , тогда

.

Решение этой системы: . Стационарная точка лежит внутри треугольника, . На сторонах треугольника и значение функции z равно нулю. Найдем наибольшее и наименьшее значения на стороне . На ней и

.

Стационарные точки находим из уравнения .

.

(т.к. х = 0 – граничная точка).

.

На концах интервала .

Таким образом, наибольшее и наименьшее значения функции z в данном треугольнике надо искать среди следующих ее значений:

в точке на стороне в точке (4, 2).

Сравнивая полученные значения видно, что наибольшее значение функция принимает внутри треугольника в точке ; наименьшее значение z = - 128 – границе, в точке (4, 2).

Пример 2.Найти величину и направление наибольшего изменения функции в точке .

Решение. Находим частные производные функции U(M) в любой точке M(x, y, z) и в точке M0:

.

Тогда в точке имеем . Наибольшая скорость изменения поля в точке M0 достигается в направлении :

.

Пример 3.Вычислим работу силы вдоль отрезка прямой АВ, если А(1, 1, 1) и В(2, 3, 4).

Решение. Запишем параметрические уравнения прямой АВ:

.

Тогда работа А силы на пути АВ вычисляется по формуле



.

Пример 4. Вычислить циркуляцию векторного поля

по контуру треугольника, полученного в результате пересечения плоскости с координатными плоскостями при положительном направлении обхода относительно нормального вектора этой плоскости двумя способами: 1) используя определение циркуляции; 2) с помощью формулы Стокса.

Решение. В результате пересечения плоскости (р) с координатными плоскостями получим треугольник АВС и укажем на нем положительное направление обхода контура АВСА.

1. Вычислим циркуляцию С данного поля по формуле:

.

На отрезке АВ имеем:

.

,

На отрезке ВС: ,

,

На отрезке СА: ,

,

Следовательно, .

2. Вычислим циркуляцию данного поля с помощью формулы Стокса.

Для этого вычислим:

.

В качестве поверхности S в формуле Стокса возьмем боковую поверхность пирамиды ОАВС:

.

По формуле Стокса имеем:

,

где .

Следовательно,

.

131. Дана функция . Показать, что

132. Дана функция . Показать, что

133. Дана функция . Показать, что

134. Дана функция . Показать, что

135. Дана функция . Показать, что

136. Дана функция . Показать, что

137. Дана функция . Показать, что

138. Дана функция . Показать, что

139. Дана функция . Показать, что

140. Дана функция . Показать, что

 

В задачах 141150 найти наименьшее и наибольшее значения функции в заданной замкнутой области.

 

141. в треугольнике, ограниченном прямыми .

142. в треугольнике, ограниченном прямыми .

143. в квадрате .

144. в треугольнике, ограниченном прямыми .

145. в треугольнике, ограниченном прямыми .

146. в прямоугольнике .

147. в квадрате .

148. в области, ограниченной линиями .

149. в квадрате .

150. в области, ограниченной линиями , , .

 

В задачах 151160 найти величину и направление наибольшего изменения функции в точке .

 

151.
152.
153.
154.
155.
156.
157.
158.
159.
160.

 

В задачах 161170 требуется: 1) построить на плоскости область интегрирования заданного интеграла; 2) изменить порядок интегрирования и вычислить площадь области при заданном и измененном порядке интегрирования.

 

161. 162.
163. 164.
165. 166.
167. 168.
169. 170.

 

 

В задачах 171180 найти работу силы при перемещении вдоль линии L от точки M к точке N.

 

171. 172.
173. 174.
175. 176.
177. 178.
179. 180.

 

В задачах 181 – 190 даны векторное поле и плоскость , которая с координатными плоскостями образует пирамиду . Пусть – основание пирамиды, принадлежащее плоскости ; – контур, ограничивающий ; – нормаль к , направленная вне пирамиды . Требуется вычислить: 1) поток векторного поля через поверхность в направлении нормали ; 2) поток векторного поля через полную поверхность пирамиды в направлении внешней нормали к ее поверхности непосредственно и применив теорему Остроградского; 3) вычислить циркуляцию векторного поля по замкнутому контуру непосредственно и применив теорему Стокса к контуру и ограниченной им поверхности с нормалью . Сделать чертеж.

 

181.
182.
183.
184.
185.
186.
187.
188.
189.
190.

 

В задачах 191200 проверить, является ли векторное поле потенциальным и соленоидальным. В случае потенциальности поля найти его потенциал.

 

191.
192.
193.
194.
195.
196.
197.
198.
199.
200.

 

 

Контрольная работа №4


Эта страница нарушает авторские права

allrefrs.ru - 2017 год. Все права принадлежат их авторам!