Главная Обратная связь

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






Уравнения движения и равновесия



Известно, что основным динамическим уравнением движения материальной точки является второй закон Ньютона ma = R, a широко используемыми следствиями этого закона являются сле­дующие общие теоремы движения системы материальных точек:

 

а) производная по времени от количества движения

системы равна сумме всех действующих на систему внешних сил

 

(2.6)

и называется уравнением количества движенияили уравнением импульсов:

(2.6')

б) производная по времени от кинетического момента

системы относительно какого-либо неподвижного центра О равна сумме моментов всех внешних сил, действующих на систему, относительно того же центра, т. е.

(2.7)

называется уравнением моментов количества движения или просто уравнением моментов

в) дифференциал кинетической энергии системы равен сумме элементарных работ всех действующих на систему внешних и внутренних сил, т. е.

 

dТ = dA (2.8)

называется уравнением механической энергииили теоремой живых сил.

Для любого мысленно выделяемого индивидуального объема V сплошной среды, ограниченного поверхностью S, уравнения (2.6) — (2.8) остаются в силе, если динамические величины определить следующим образом:

, ,

соответственно количество движения, момент количества движе­ния и кинетическая энергия сплошной среды в объеме V;

соответственно сумма внешних объемных и поверхностных (непрерывно распределенных и сосредоточенных) сил к их момен­тов относительно некоторого неподвижного центра О, действую­щих на среду в объеме V;

сумма элементарных работ внешних и внутренних объемных и поверхностных сил.

В этом случае уравнения (2.6) и (2.7) являются основными постулируемыми динамическими соотношениями механики сплош­ной среды1, подобно второму закону Ньютона в механике материальной точки. Они служат исходными для описания любых движений любой сплошной среды, в том числе для разрывных движений и ударных процессов. 1 Эти уравнения для индивидуального объема сплошной среды не вытекают из подобных уравнений движения системы материальных точек, а являются самостоя­тельными.

Уравнение (4.8) одно из наиболее важных следствий уравнений (4.6) и (4.7) при непрерывных движениях в пространстве и времени.

При непрерывных движениях интегральная теорема движения (4.6) эквивалентна следующим трем дифференциальным уравне­ниям:

в цилиндрической системе координат при осевой симметрии



(2.9)

в декартовой системе координат

(i=1,2,3)

где проекции ускорения ai вычисляют по формулам (1.6).

Эти уравнения, связывающие компоненты vi вектора скорости и тензора напряжений {σij}, являются основной системой дифференциальных уравненийдвижения для любой сплошной среды, представляющих собой уравнение баланса количества движения (или импульса) для бесконечно малого объема среды.

Если движения частиц происходят без ускорения (ai=0) или они пренебрежимо малы, то уравнения (2.9) называются дифферен­циальными уравнениями равновесия.

При непрерывном движении сплошной среды теорема момен­тов количества движения (2.7) в дифференциальной форме сводится к выводу о том, что тензор напряжений симметричен, т. е. σij = σji. Если тензор напряжений симметричен, то уравнения моментов количества движения удовлетворяются тождественно.

Интегральная теорема живых сил (2.8) эквивалентна следую­щему дифференциальному уравнению:

dТ = dЕ = dA(e) (2.10)

где — соответственно изменение кинетической и потенциальной энергии бесконечно малого объема сплошной среды;

— элементарная работа внешних объемных и поверхностных сил, действующих на бесконечно малый элемент объема среды.

Уравнение (2.10) является следствием уравнений движения (2.9) и представляет собой уравнение баланса механической энергии. В об­щем случае оно не является законом сохранения энергии, но его мож­но так трактовать тогда, когда механическая энергия тела не пере­ходит в тепловую или другие виды энергии. Общий закон сохранения энергии в этом случае распадается на два: закон сохранения механической энергии и закон сохранения энергии другого вида.


Эта страница нарушает авторские права

allrefrs.ru - 2018 год. Все права принадлежат их авторам!