Главная Обратная связь

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






Условный экстремум при смешанных ограничениях



В этом случае утверждения, 3.1.1 - 3.1.4 остаются без изменения.

Таким образом, для того, чтобы исследовать функцию на условный экстремум, достаточно:

1. Составить обобщённую функцию Лагранжа:

L(X, l0, L)=l0f(X)+

2. Составить систему:

(3.4.1)

3. Решить систему (3.4.1) для двух случаев:

а) l0=0;

б) l0=1.

В результате находятся условно-стационарные точки X*.

4. Для условно стационарных точек X*, полученных в пункте 3, проверить достаточные условия экстремума. Для этого:

1) определить число l ограничений-равенств и активных ограничений-неравенств в точке X*;

2) если l=n и >0 для всех iÎIa, то в точке X* - локальный минимум. Если l=n и <0 для всех iÎIa, то в точке X* - локальный максимум. Если l<n или соответствующие множители Лагранжа не удовлетворяют достаточным условиям первого порядка, то проверить достаточные условия второго порядка. Для этого:

1) записать выражение для второго дифференциала классической функции Лагранжа в точке (X*, L*):

d2L(X*, L*)= ;

2) записать условия, накладываемые на первые дифференциалы активных ограничений:

(3.4.2)

3) исследовать знак второго дифференциала функции Лагранжа для ненулевых dx, удовлетворяемых системе (3.4.2). Если d2L(X*, L*)>0 (и ³0), то в точке X* - условный локальный минимум. Если d2L(X*, L*)<0 (и £0), то в точке X* - условный локальный максимум.

Если достаточные условия первого и второго порядка не выполняются, то проверяется выполнение необходимых условий второго порядка. Если они не выполняются, то в точке X* нет условного экстремума, а если выполняются, то требуется дополнительное исследование.

5. Вычислить значения функции в точках условного экстремума.

Пример I. Исследовать на условный экстремум функцию:

f(X)= ®extr

Решение. Имеем

j1(Х)= , j2(Х)=

Далее действуем по вышеприведённой схеме:

1. Составим функцию Лагранжа:

L(X, l0, L)=l0( )+l1( )+l2( ).

2. Составим систему (3.4.1). Имеем

=2l0x1+2l1x1+2l2x1=2x1(l0+l1+l2),

=2l0(x2-4)+2l1(x2+4)+2l2x2.

Поэтому

3. Решим систему для двух случаев:

a) l0=0. Система принимает вид

а.1) x1=0. Тогда из третьего уравнения имеем x2=0, а второе и последнее дают l1=l2=0, то есть l0=l1=l2=0, что невозможно.

а.2) x1≠0. Тогда l1+l2=0 и l1=-l2≠0 и второе уравнение даёт l1(x2+4-x2)=0, то есть 4l1=0, что невозможно. (Здесь тот аргумент, что l1 и l2 имеют разные знаки, не уместен, так как l1 соответствует ограничению-равенству, а l2 - ограничению неравенству.)



Таким образом, условно-стационарных точек при l0=0 нет.

б) l0=1. Система принимает вид

б.1) x1=0. Тогда из третьего уравнения имеем x2=0, подставляя которое во второе, получаем -4+4l1=0, то есть l1=1. Последнее уравнение системы даёт l2=0. Таким образом, ( )=(0, 0; 1, 0) - условно-стационарная точка.

б.2) x1≠0. Тогда l1=-1-l2. Предположим, l2≠0. Тогда имеет место система

откуда . Решаем последнее уравнение: х2= . Подставляя во второе, получаем х1 . Подставляя найденное значение х2 во второе уравнение исходной системы, получаем 7l1-l2=9, и приходим к системе

решением которой является l1=1, l2=-2 (как и выше, знаки l1 и l2 могут быть различными). Это можно найти и по-другому: преобразовав второе уравнение, получаем

Û Û

Û (так как ),

откуда l1=1, l2=-2.

Таким образом,

( )=( ; ; 1 -2), ( )=(- ; ; 1 -2) -

ещё две условно-стационарные точки.

Если предположить, что l2=0, то l1=-1. Тогда второе уравнение системы даёт х2-4-(х2+4)=0, то есть -8=0 - противоречие.

Таким образом, условно-стационарных точек три:

( )=(0; 0; 1; 0), ( )=( ; ; 1 -2),

( )=(- ; ; 1 -2),

при этом в точке ( ) имеем l2=0, то есть l2³0 и l2£0, в точке выполняются необходимые условия как для минимума, так и для максимума. В точках ( ) и ( ) имеем l2=-2£0, и в этих точках выполняются необходимые условия для максимума.

4. Проверим достаточные условия экстремума в найденных точках.

Имеем

= =2(l0+l1+l2), = =0.

Поэтому d2L=2(l0+l1+l2)(d +d ).

а) В точке X0=(0, 0) ограничение не является активным, так как j(X0)=-4<0. Поэтому достаточные условия первого порядка не выполняются. Проверим достаточные условия второго порядка. В точке ( ) имеем l0=l1=1, l2=0. Поэтому d2L(А)=4(d +d ). Имеем dj1=2x1dx1+2(x2+4)dx2, dj1(А)=8dx2=0 Û dx2=0. Поэтому d2L(А)=4d >0 при dx1≠0 (так как ограничение j2(Х)£0 пассивно, то Ja=Æ и условие dj2(Х)=0 не рассматривается). Следовательно, в точке X1 - условный локальный минимум.



б) В точках ( ) и ( ) ограничение-неравенство активно, так как j2(Х*)=0. Поэтому суммарное число активных ограничений-неравенств в точках и и ограничений равенств равно числу переменных. Так как l2=-2, то в точках выполняются достаточные условия максимума первого порядка и оно является точкой локального максимума.

5. Вычислим значение функции в точках условного экстремума:

fmin(X)=f(X1)=f(0, 0)=16,

fmax(X)=f( )=f( )= =24.

Ответ: X1=(0, 0) - точка регулярного условного локального минимума, fmin(X)=16; = и = - точки регулярного условного локального максимума, fmax(X)=24.


Эта страница нарушает авторские права

allrefrs.ru - 2018 год. Все права принадлежат их авторам!