Главная Обратная связь

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






Условный экстремум при ограничениях типа неравенств



В этом случае утверждения, 3.1.1 - 3.1.4 принимают следующую редакцию, соответственно:

3.3.1. Пусть X*ÎRп - точка локального минимума (максимума) функции f(X) на множестве М={X|ji(X)£0, i=1, 2, …, m}. Тогда существуют числа , , …, , не равные одновременно нулю и такие, что выполняются условия:

условия стационарности обобщённой функции Лагранжа по X:

=0, j=1, 2, …, n; (3.3.1.a)

условие допустимости решения:

ji(X*)£0, i=1, 2, …, n; (3.3.1.б)

условие неотрицательности для условного минимума:

³0, i=1, 2, …, n; (3.3.1.в)

(условие неположительности для условного максимума £0, i=1, 2, …, n)

условие дополняющей нежёсткости:

ji(X*)=0, i=1, 2, …, n; (3.3.1.г)

Если при этом градиенты Ñj1(X*), Ñj2(X*), …, Ñjm(X*) в точке X* линейно независимы, то ≠0 (условие регулярности).

3.3.2. Пусть X*ÎRп - регулярная точка локального минимума (максимума) функции f(X) на множестве М и имеется решение (X*, L*) системы (3.3.1). Тогда второй дифференциал классической функции Лагранжа, вычисленный в точке (X*, L*), неотрицателен (неположителен):

d2L(X*, L*)³0 (d2L(X*, L*)£0)

для всех таких dxÎRп, что

(3.3.2)

3.3.3.Пусть (X*, L*) - точка, удовлетворяющая системе (3.3.1) при ≠0, число активных ограничений X* совпадает с числом n переменных. Если >0 для всех iÎIa, то точка X* - точка условного локального минимума. Если <0 для всех iÎIa, то X* - точка условного локального максимума.

3.3.4. Пусть (X*, L*) - точка, которая является решением системы (3.3.1) при ≠0. Если в этой точке дифференциал классической функции Лагранжа, положителен (отрицателен)

d2L(X*, L*)>0 (d2L(X*, L*)<0)

для всех таких dxÎRп, что

dji(X*)=0, iÎIa, >0 ( <0);

dji(X*)£0, iÎIa, =0,

то точка X* является точкой локального минимума (максимума) задачи.

Напомним, что Ia - множество индексов ограничений, активных в точке X*, причём ограничение ji(X)£0 называется активным в точке X*, если ji(X*)=0 (в противном случае оно называется пассивным).

Таким образом, для того, чтобы исследовать функцию на условный экстремум, достаточно:

1. Составить обобщённую функцию Лагранжа:

L(X, l0, L)=l0f(X)+

2. Составить систему:

(3.3.1)

3. Решить систему (3.3.1) для двух случаев:

а) l0=0;

б) l0=1.

В результате находятся условно-стационарные точки X*.



4. Для условно стационарных точек X*, полученных в пункте 3, проверить достаточные условия экстремума. Для этого:

1) определить число l активных в точке X* ограничений;

2) если l=n и >0 для всех iÎIa, то в точке X* - локальный минимум. Если l=n и <0 для всех iÎIa, то в точке X* - локальный максимум. Если l<n или соответствующие множители Лагранжа не удовлетворяют достаточным условиям первого порядка, то проверить достаточные условия второго порядка. Для этого:

1) записать выражение для второго дифференциала классической функции Лагранжа в точке (X*, L*):

d2L(X*, L*)= ;

2) записать условия, накладываемые на первые дифференциалы активных ограничений:

(3.3.2)

3) исследовать знак второго дифференциала функции Лагранжа для ненулевых dx, удовлетворяемых системе (3.3.2). Если d2L(X*, L*)>0, то в точке X* - условный локальный минимум. Если d2L(X*, L*)<0, то в точке X* - условный локальный максимум.

Если достаточные условия первого и второго порядка не выполняются, то проверяется выполнение необходимых условий второго порядка. Если они не выполняются, то в точке X* нет условного экстремума, а если выполняются, то требуется дополнительное исследование.

5. Вычислить значения функции в точках условного экстремума.

Пример I. Исследовать на условный экстремум функцию:

f(X)=x1x2®extr

.

Решение. Следуем вышеприведённой схеме. Имеем

j1(Х)=j(Х)=

1. Составим функцию Лагранжа:

L(X, l0, L)=l0(x1x2)+l1( ).

2. Составим систему (3.3.1). Имеем =l0x2+2l1x1, =l0x1+2l1x2. Поэтому

3. a) l0=0. Так как l1≠0, то x1=0 и x2=0, и , то есть условно-стационарных точек при l0=0 нет.

б) l0=1. Система принимает вид

Пусть l1≠0. Тогда из первых двух и последнего уравнения системы получаем четыре условно-стационарные точки ( )=(2, 2, ), ( )=(-2, -2, ), (X3, L3)=(-2, 2, ), (X4, L4)=(2, -2, ) (см. решение Примера II из 3.2).



Если l1=0, то ( )=(0, 0, 0) - пятая условно-стационарная точка.

4. Проверим достаточные условия экстремума в найденных условно-стационарных точках X*Î{X1, X2, X3, X4, X5}.

Пусть X*=X1=(2, 2). В этой точке ограничение активно: j1(Х*)=j1(Х1)= Но число l=1 активных ограничений меньше числа n=2 переменных: l<n. Поэтому достаточные условия первого порядка не выполняются. Проверим достаточные условия второго порядка. Для этого:

1) Запишем выражение для второго дифференциала классической функции Лагранжа. Имеем

= =2l1, = =1.

Поэтому d2L=2l1d +2dx1dx2+2l1d , и

d2L(X*, L*)=2l1d +2dx1dx2+2l1d =2× d +2dx1dx2+2× d =

=-d +2dx1dx2-d =-(dx1-dx2)2.

2) Запишем условие, накладываемое на первый дифференциал активного ограничения: dj1(X)=2x1dx1+2x2dx2, dj1(X*)=dj1(X1)=4dx1+4dx2=0.

3) Исследуем знак второго дифференциала функции Лагранжа для ненулевых dx, удовлетворяющих равенству предыдущего пункта 2). Имеем 4dx1+4dx2=0 Û dx2=-dx1, и d2L(X1, L1)=-(dx1-dx2)2=-4d , то есть d2L(X1, L1)=-4d <0. Поэтому X1 - точка условного регулярного максимума.

Пусть X*=X2=(-2, -2). В этой точке снова ограничение активно, и l<n - достаточные условия первого порядка не выполняются. Проверим достаточные условия второго порядка:

1) Так как L1=L2, то d2L(X*, L*)=-(dx1-dx2)2.

2) Так как dj1(X)=2x1dx1+2x2dx2, то dj1(X*)=dj1(X2)=-4dx1-4dx2=0.

3) Имеем -4dx1-4dx2=0 Û dx2=-dx1, и снова d2L(X1, L1)=-4d <0, и X2 - точка условного регулярного максимума.

Пусть X*=X3=(-2, 2). В этой точке снова достаточные условия первого порядка не выполняются (почему?). Проверим достаточные условия второго порядка:

1) Так как d2L=2l1d +2dx1dx2+2l1d , то

d2L(X3, L3)=d +2dx1dx2+d =(dx1+dx2)2.

2) Из dj1(X)=2x1dx1+2x2dx2 получаем dj1(X*)=dj1(X2)=-4dx1+4dx2=0.

3) -4dx1+4dx2=0 Û dx2=dx1, и d2L(X1, L1)=0, и достаточные условия второго порядка не выполняются.

Необходимые условия второго порядка выполняются. Так что требуется дополнительное исследование. Но нами оно уже проведено - см. решение Примера II из 3.2). Следовательно, точка X3 - точка условного минимума.

Случай X*=X4 рассматривается аналогично случаю X*=X3, и оставляется читателю для самостоятельного рассмотрения.

В точке =(0, 0) ограничение не является активным, так как j( )=-8<0. Поэтому достаточные условия первого порядка не выполняются. Проверим достаточные условия второго порядка. Но в достаточных условиях второго порядка обязательно наличие активного ограничения. А его в точке (0, 0) у задачи нет. Следовательно, достаточные условия второго порядка не выполнены. По этой же причине не выполняются и необходимые условия второго порядка. Таким образом, =(0, 0) не является точкой условного экстремума.

5. Вычислим значение функции в точках условного экстремума:

fmax=f(X1)=f(X2)=(±2)×(±2)=4, fmin=f(X3)=f(X4)=(±2)×( ±2)=-4.

Ответ: X1=(2, 2) и X2=(-2, -2) - точки регулярного условного локального максимума, fmax=4; X3=(-2, 2) и X2=(2, -2) - точки регулярного условного локального минимума, fmin=-4.

Пример II. Исследовать на условный экстремум функцию:

f(X)=x1+x2®extr

.

Решение. Действуем по схеме. В нашем случае

j1(Х)=j(Х)=

1. Составим обобщённую функцию Лагранжа:

L(X, l0, L)=l0(x1+x2)+l1( ).

2. Составим систему (3.3.1). Имеем =l0+2l1x1, =l0+2l1x2. Поэтому

(3.3.3)

3. Решаем систему для двух случаев:

а) l0=0.

Имеем l1≠0, так как по 3.3.1 в точке условного экстремума X* не все l0 и l1 равны нулю. Тогда x1=0 и x2=0. Так как l1≠0, то из последнего уравнения получаем =0, которому не удовлетворяет X*=(0, 0). Значит, условно-стационарных точек при l0=0 нет.

б) l0=1. Тогда

(3.3.3) Û

Из первых двух уравнений системы следует l1≠0 и тогда из последнего уравнения получаем =0. Как мы видели при решении примера I из 3.2, ( )=(2, 2, ), ( )=(-2, -2, ) - две условно-стационарные точки.

4. Для условно стационарных точек X*, полученных при l0=1, проверим достаточные условия экстремума. Для обеих точек ограничение является активным (а именно, выполнено условие ), при этом число ограничений l=1<n=2. Поэтому достаточные условия первого порядка не выполняются. Проверим достаточные условия второго порядка. Для этого:

1) Запишем выражение для второго дифференциала классической функции Лагранже в точках ( ) и ( ). Имеем

= =2l1, = =0.

Поэтому d2L=2l1d +2l1d .

2) Запишем условия, накладываемые на первые дифференциалы активных ограничений: dj=2x1dx1+2x2dx2=0, откуда dx2=-dx1 и d2L=4l1d . Тогда

d2L( )=-d <0 при l1= <0 и

d2L( )=d >0 при l1= >0.

Получаем, что d2L( )<0 для всех ненулевых dxÎR2 таких, что dj( )=0, =- <0, и d2L( )>0 для всех ненулевых dxÎR2 таких, что dj( )=0, = >0. Поэтому - точка регулярного условного максимума, - точка регулярного условного минимума.

5. Вычислим значения функции в точках условного экстремума:

fmax=f( )=2+2=4, fmin=f( )=-2-2=-4.

Ответ: =(2, 2) - точка регулярного условного максимума, fmax=4, =(-2, -2) - точка регулярного условного локального, fmin=-4.

Пример III. Исследовать на условный экстремум функцию:

f(X)=(x1-4)2+ ®extr

Решение. В нашем случае j1(Х)= и j2(Х)= .

Действуем по общей схеме:

1. Составим обобщённую функцию Лагранжа:

L(X, l0, L)=l0((x1-4)2+ )+l1( )+l2( ).

2. =2l0(x1-4)+2l1(x1+4)+2l2x1, =2l0x2+2l1x2+2l2x2.

Û (3.3.4)

3. а) l0=0. Тогда l1≠0 или l2≠0, и,

(3.3.4) Û (3.3.5)

В частности, . Случай невозможен, так как в противном случае в силу и (либо и ) имеем (l1 и l2 не могут иметь разные знаки). Поэтому и .

Если , то , откуда и или . Второе невозможно, так как в противном случае , что противоречит четвёртому соотношению системы (3.3.5). Значит, , подставляя которое в первое уравнение системы (3.3.5), получаем , то есть , откуда , что противоречит тому, что и .

Если , то , откуда . невозможно, так как в противном случае , что противоречит третьему соотношению системы (3.3.5). Значит, , подставляя которое в первое уравнение системы (3.3.5), получаем , откуда - противоречие. Таким образом, .

б) l0=1. Тогда

(3.3.4) Û (3.3.6)

в частности, .

Случай 1. . Из первого уравнения получаем

Û ,

откуда и , и с имеют разные знаки, что невозможно.

Случай 2. .

Случай 2.1. . Тогда из первого уравнения получаем , то есть . Это противоречит третьему соотношению системы (3.3.6).

Случай 2.2. . Тогда и , откуда . Как мы уже видели, . Значит, . Теперь первое уравнение системы (3.3.6) даёт , откуда . Таким образом, ( )=(-4, 0; 0, -2) - условно-стационарная точка.

Случай 2.3. . Тогда и, как мы уже видели, , подставляя которое в первое уравнение, получаем , откуда . Таким образом, ( )=(-1, 0; , 0) - вторая условно-стационарная точка.

Случай 2.4. . Тогда Û в силу , и получаем противоречие.

Таким образом, получили две условно-стационарные точки:

( )=(-4, 0; 0, -2), ( )=(-1, 0; , 0).

4. В точке X1 первое ограничение не является активным, а в точке X2 - второе. Поэтому достаточные условия первого порядка не выполнены. Проверим достаточные условия второго порядка.

1) Имеем = =1+l1+l2, = =0.

d2L=(1+l1+l2)d +(1+l1+l2)d =(1+l1+l2)(d +d ).

2) dj1(X)=2(x1+4)dx1+2x2dx2, dj2(X)=2x1dx1+2x2dx2.

3) Û Û Û

В любом случае dx1=0. Тогда

d2L( )=-(d +d )=-d <0 (при этом l1=0£0, l2=-2£0) ,

d2L( )=(1+ )(d +d )= d >0 (при этом l1= >0, l2=0³0).

Следовательно, X1=(-4, 0) - точка регулярного условного максимума, а X2=(-1, 0) - точка регулярного условного минимума.

5. Вычислим значения функции в точках условного экстремума:

fmax=f( )=(-4-4)2+02=64, fmin=f( )=(-1-4)2+02=25.

Ответ: =(-4, 0) - точка регулярного условного максимума, fmax=64, =(-1, 0) - точка регулярного условного минимума, fmin=-4.

Пример IV. Исследовать на условный экстремум функцию:

f(X)=(x1-2)2+ ®extr

Решение. В нашем случае j1(Х)= и j2(Х)=-x1.

Действуем по общей схеме:

1. L(X, l0, L)=l0((x1-2)2+ )+l1( )+l2(-x1).

2. =2l0(x1-2)+2l1x1-l2, =2l0x2+2l1x2.

(3.3.7)

3. а) l0=0. Тогда первые два уравнения образуют систему

Так как l0, l1 и l2 одновременно не равны нулю, то l1≠0 или l2≠0.

Если l1≠0, то откуда и . Тогда

,

то есть l2≠0, и из последнего уравнения системы (3.3.7) получаем, что - противоречие.

Таким образом, l0≠0.

б) l0=1. Тогда

(3.3.7) Û (3.3.8)

Отдельно рассмотрим случаи:

Случай 1. . Из первого уравнения системы (3.3.8) получаем , то есть . Из второго уравнения - . Таким образом, (X1, L1)=(2, 0; 0, 0) - условно-стационарная точка.

Случай 2. . Тогда из второго уравнения получаем , а из последнего - . Теперь первое уравнение примет вид , то есть , и получили условно-стационарную точку (X2, L2)=(0, 0; 0, -4).

Случай 3. . Тогда из системы (3.3.8) получаем систему

(3.3.9)

Первое уравнение преобразуется:

Û Û .

Поэтому равенство невозможно. Значит, , и из второго уравнения системы (3.3.9) получаем , откуда и из последнего уравнения получаем . Так как - Û , то . Теперь из получаем и , что противоречит условию случая.

Случай 4. . Тогда из последних двух уравнений системы (3.3.8) получаем

Û

Теперь первое уравнение (3.3.8) принимает вид , то есть , а второе принимает вид , где . Значит, , и получили ещё две условно-стационарные точки:

(X3, L3)=(0, 2; -1, -4), (X4, L4)=(0, -2; -1, -4).

4. В точках X3 и X4 оба ограничения активны: и l=2=n, то есть выполнены достаточные условия первого порядка. При этом L3=L4=(-1, -4), то есть и . Значит, X3 и X4 - точки регулярного условного максимума.

В точке X1 активно только первое ограничение и l=1<n=2, то есть достаточные условия первого порядка не выполнены. Проверим достаточные условия второго порядка.

Имеем = =1+l1, = =0.

d2L=(1+l1)d +(1+l1)d =(1+l1)(d +d ).

При X=X1 имеем и d2L=d +d >0, то есть X1 - точка регулярного условного минимума.

В точке X2 активно только второе ограничение и l<n. Проверим достаточные условия второго порядка.

1) Как мы уже видели, d2L=(1+l1)(d +d ), и при X=X2 снова и d2L=d +d >0. При этом l2=-4<0, то есть знаки d2L( )>0 и не согласуются, и необходимые условия второго порядка в точке X2 не выполнены.

5. Вычислим значения функции в точках условного экстремума:

fmin=f( )=(2-2)2+02=0, fmax=f( )=f( )=(0-2)2+(±2)2=8.

Ответ: =(2, 0) - точка регулярного условного минимума, fmin=0, =(0, 2), =(0, -2) - точки регулярного условного максимума, fmax=8.

 


Эта страница нарушает авторские права

allrefrs.ru - 2018 год. Все права принадлежат их авторам!