Главная Обратная связь

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






Условный экстремум при ограничениях типа равенств



В этом случае утверждения, 3.1.1, 3.1.2, 3.1.4 принимают следующую редакцию, соответственно:

3.2.1. Пусть X*ÎRп - точка локального минимума (максимума) функции f(X) на множестве М={X|ji(X)=0, i=1, 2, …, m}. Тогда существуют числа , , …, , не равные одновременно нулю и такие, что выполняются условия:

условия стационарности обобщённой функции Лагранжа по X:

=0, j=1, 2, …, n; (3.2.1.a)

условие допустимости решения:

ji(X*)=0, i=1, 2, …, n; (3.2.1.б)

Если при этом градиенты Ñj1(X*), Ñj2(X*), …, Ñjm(X*) в точке X* линейно независимы, то ≠0.

При решении задач, как правило, рассматривают два случая: =0 и ≠0. В последнем случае в системе (3.2.1.а) полагают =1, при котором функция Лагранжа становится классической, система (2.2.1) принимает вид

=0, j=1, 2, …, n, (3.2.2.a)

ji(X*)=0, i=1, 2, …, n. (3.2.2.б)

3.2.2. Пусть X*ÎRп - регулярная точка локального минимума (максимума) функции f(X) на множестве М и имеется решение (X*, L*) системы (3.2.1). Тогда второй дифференциал классической функции Лагранжа, вычисленный в точке (X*, L*), неотрицателен (неположителен):

d2L(X*, L*)³0 (d2L(X*, L*)£0) (3.2.3.а)

для всех таких dxÎRп, что

dji(X*)= =0 (i=1, 2, …, m). (3.2.3.б)

3.2.3. Пусть (X*, L*) - точка, которая является решением системы (3.2.1). Если в этой точке полный дифференциал второго порядка классической функции Лагранжа, положителен (отрицателен)

d2L(X*, L*)>0 (d2L(X*, L*)<0)

для всех таких dxÎRп, что

dji(X*)= =0 (i=1, 2, …, m),

то точка X* является точкой локального минимума (максимума) задачи.

Таким образом, для того, чтобы исследовать функцию на условный экстремум с ограничениями типа равенства (то есть найти для функции точки условных экстремумов, определить их характер и вычислить значения функции в этих точках), достаточно:

1. Составить обобщённую функцию Лагранжа:

L(X, l0, L)=l0f(X)+

2. Составить систему:

(3.2.1)

3. Решить систему (3.2.1) для двух случаев:

а) l0=0;

б) l0=1.

В результате находятся условно-стационарные точки X*.

4. Для условно стационарных точек X*, полученных в пункте 3, проверить достаточные условия экстремума. Для этого можно, в силу Замечанияв пункте 2.1, применить критерии типа Сильвестра к функции d2L(X*, L*), или проверить это непосредственно, выразив из системы (3.2.3.б) любые m дифференциалов через остальные n-m и подставив их в d2L(X*, L*). Если d2L(X*, L*)>0 при ненулевых dx, то точка X* является точкой условного минимума, а если d2L(X*, L*)<0, то - точкой условного максимума. Если достаточные условия не выполняются, то проверяются необходимые условия второго порядка. Если они выполняются, то требуется дополнительные исследования; если нет, то точка X* не является точкой условного экстремума.



5. Вычислить значения функции в точках условного экстремума.

При проверке достаточных условий в условно-стационарных точках (при l0=1) более эффективно воспользоваться непосредственной проверкой.

Пример I. Исследовать на условный экстремум функцию:

f(X)=x1+x2®extr

.

Решение. Действуем по вышеприведённой схеме. В нашем случае j1(Х)=j (Х)=

1. Составим обобщённую функцию Лагранжа:

L(X, l0, L)=l0(x1+x2)+l1( ).

2. Составим систему (3.2.1). Имеем =l0+2l1x1, =l0+2l1x2. Поэтому

(3.2.4)

3. Решаем систему для двух случаев:

а) l0=0.

Имеем l1≠0, так как по 3.2.1 в точке локального экстремума X* не все l0 и l1 равны нулю. Тогда x1=0 и x2=0. Но тогда j(X*)≠0, то есть X*=(0, 0) не удовлетворяет ограничению задачи. Значит, условно-стационарных точек при l0=0 нет.

б) l0=1.

(3.2.4) Û

Из первых двух уравнений системы получаем x1= , x2= , подставляя которые в третье, имеем =8 Û = Û l1 . Отсюда x1= 2, x2= 2, то есть (X1, L1)=(2, 2, ), (X2, L2)=(-2, -2, ) - две условно-стационарные точки.

4. Для условно стационарных точек X*, полученных при l0=1, проверим достаточные условия экстремума. Для этого исследуем полный дифференциал второго порядка d2L(X*, L*) классической функции Лагранжа как квадратичную форму от dx1, dx2.

Имеем

= =2l1, = =0.

Поэтому d2L=2l1d +2l1d .



Способ 1. Имеем H(X)= , для которого угловые миноры равны D1(X)=2l1 и D2(X)=4 . При l1=- , то есть для точки X1=(2, 2), имеем D1(X1)=- <0 и D2(X1)= >0. Это означает, что в точке (X1, L1)=(2, 2, - ) d2L отрицательно определена, и X1 - точка регулярного условного локального максимума. При l1= имеем D1(X2)= >0 и D2(X2)= >0, и в точке (X2, L2)=(-2, -2, ) d2L положительно определена, и X2 - точка регулярного условного локального минимума.

Способ 2. Имеем dj=2x1dx1+2x2dx2. Выразим из dj=0 dx2 через dx1:

2(-2)dx1+2(-2)dx2=0 Û -4dx1-4dx2=0 Û dx2=-dx1

и подставим его в d2L: d2L=2l1d +2l1(-dx1)2=4l1d , то есть d2L=4l1d . Тогда

d2L(X1, L1)=-d <0 при dx1≠0 и

d2L(X2, L2)=d >0 при dx1≠0.

Поэтому X1 - точка регулярного условного локального максимума, X2 - точка регулярного условного локального минимума.

5. Вычислим значения функции в точках условного экстремума:

fmax=f(X1)=2+2=4, fmin=f(X2)=-2-2=-4.

Ответ: X1=(2, 2) - точка регулярного условного локального максимума, fmax=4, X2=(-2, -2) - точка регулярного условного локального минимума, fmin=f(X2)=-4.

Пример II. Исследовать на условный экстремум функцию:

f(X)=x1x2®extr

.

Решение. Имеем j1(Х)=j(Х)= Так как Ñj(Х)=(2x1, 2x2)≠0 для всех хÎM, то условие регулярности выполнено, то есть l0≠0 и можно считать l0=1. Далее действуем по схеме.

1. Составим функцию Лагранжа:

L(X, L)=(x1x2)+l1( ).

2. Составим систему (3.2.1). Имеем =x2+2l1x1, =x1+2l1x2. Поэтому

3. Решаем полученную систему. Выразим из второго уравнения системы x1 через x2 (x1=2l1x2) и подставим его в первое уравнение:

x2+2l1(-2l1x2)=0 Û x2(1-4 )=0.

Заметим, что x2¹0, так как в противном случае x1=0, то есть x1=x2=0, что не удовлетворяет третьему уравнению. Поэтому

x2(1-4 )=0 Û 1-4 Û l1= ,

откуда x1= x2, подставляя которое в третье уравнение системы, приходим к уравнению , то есть x1= 2, откуда x2= 2. При этом знаки у x1 и x2 не зависят от того, l1= или l1= . Таким образом, решением системы являются четыре точки: (X1, L1)=(2, 2, ), (X2, L2)=(-2, -2, ), (X3, L3)=(-2, 2, ), (X4, L4)=(2, -2, ).

4. Проверим достаточные условия экстремума в найденных точках.

Имеем

= =2l1, = =1.

Способ 1. Имеем H(X)= , D1(X)=2l1, D2(X)=4 -1. Тогда D1(X1)=D1(X2)=2× =-1<0, D2(X1)=D2(X2)=4× -1=0, то есть D1<0 и D2=0, и для точек X1 и X2 достаточные условия второго порядка не выполнены, в то время, как необходимые условия второго порядка выполнены. Аналогично, D1(X3)=D1(X4)=1>0 и D2(X3)=D2(X4)=0. Таким образом, этот способ не даёт ответа на вопрос об экстремальности условно-стационарных точек.

Способ 2. Имеем d2L=2l1d +2dx1dx2+2l1d . Так как dj=2x1dx1+2x2dx2, то dj=0 Û dx2=-dx1, и d2L=4l1d -2d . Тогда

d2L( )=d2L( )=-4d <0 при dx1≠0

Поэтому точки X1 и X2 - точки регулярного условного локального максимума.

Далее, d2L( )=d2L( )=4× d -2d =0. Это означает, что достаточное условие условного экстремума в точках X3 и X4 не выполняется, в то время, как выполняется необходимое условие второго порядка. Поэтому требуется дополнительное исследование. Например, заметим, что функция f(X)=x1x2 непрерывна везде, в том числе и во множестве {(x1, x2)| }. Поэтому она достигает на этом множестве своих экстремумов, в том числе минимумов. В этих точках (где достигается условный минимум) обязательно выполняется необходимое условие. Следовательно, X3 и X4 - точки условного минимума.

5. Вычислим значение функции в точках условного максимума и в точках условного минимума:

fmax=f(X1)=f(X2)=(±2)×(±2)=4, fmin=f(X3)=f(X4)=(±2)×( 2)=-4

Ответ: X1=(2, 2) и X2=(-2, -2) - точки регулярного условного локального максимума, fmax=4; X3=(-2, 2) и X2=(2, -2) - точки регулярного условного локального минимума, fmin=-4.

 


Эта страница нарушает авторские права

allrefrs.ru - 2018 год. Все права принадлежат их авторам!