Главная Обратная связь

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






Функций, заданных параметрически



Пусть функция у=ƒ(х) задана параметрическими уравнениями Как известно, первая производная у'х находится по формуле (23.1)

Найдем вторую производную от функции заданной параметрически. Из определения второй производной и равенства (23.1) следует, что Аналогично получаем

Пример 23.3

Найти вторую производную функции

Решение: По формуле (23.1) Тогда по формуле (23.2)

Заметим, что найти у"хх можно по преобразованной формуле (23.2):

 

Дифференциалы высших порядков

Для функции, зависящей от одной переменной z=f(x) второй и третий дифференциалы выглядят так:

Отсюда можно вывести общий вид дифференциала n-го порядка от функции z=f(x) :

При вычислении дифференциалов высших порядков очень важно, что dx есть произвольное и не зависящее от x , которое при дифференцировании по x следует рассматривать как постоянный множитель.

 

Для функции нескильких переменных

Если функция z=f(x, y) имеет непрерывные частные производные второго порядка, то дифференциал второго порядка определяется так: .

Символически общий вид дифференциала n-го порядка от функции выглядит следующим образом:

где а произвольные приращения независимых переменных .
Приращения рассматриваются как постоянные и остаются одними и теми же при переходе от одного дифференциала к следующему. Сложность выражения дифференциала возрастает с увеличением числа переменных.

Неинвариантность дифференциалов высших порядков

При n≥2 , n-й дифференциал не инвариантен (в отличие от инвариантности первого дифференциала), то есть выражение d nf зависит, вообще говоря, от того, рассматривается ли переменная x как независимая, либо как некоторая промежуточная функция другого переменного, например, x=φ(t).

Для доказательства неинвариантности дифференциалов высшего порядка достаточно привести пример.
При n = 2 и y=f(x)=x3 :

§ если — независимая переменная, то

§ если и

1.

2. При, и

С учётом зависимости x=t2, уже второй дифференциал не обладает свойством инвариантности при замене переменной. Также не инвариантны дифференциалы порядков 3 и выше.

Вопрос 5

Осн. теоремы диф-го исчисления

Теорема Ролля

Пусть функция . Тогда Пусть x1Î(a, b), тогда согласно теореме Ферма Данная теорема обладает таким же геометрическим истолкованием, что и теорема Ферма.

Теорема Лагранжа



Пусть функция . Тогда Геометрическое истолкование теоремы Лагранжа. Строим график функции [a, b] (рис.10.2) , . Угловой коэффициент касательной в т. . Следовательно, на графике функц .

Рис. 10.2

Теорема Коши

Пусть функции xÎ(a, b). Тогда Существует c ­- хотя бы 1 (a, b). Теорема Коши является обобщением теоремы Лагранжа, где .

Теорема Ферма

Пусть функция или f(c)=m в т. Пусть, для определённости, f(c)==M(рис. 10.1), тогда при и Согласно определению производной имеем

Рис. 10.1 Геометрическое истолкование теоремы вытекает из геометрического смысла производной: касательная к графику функции y=f(x)в точке с абсциссой x=c параллельна оси OX.

Правила Лопиталя

Первое:

Расмотрим y=g(x) y=f(x), f(x0)=0 g(x0)=0

1) Существует limxx0(f ’(x)/ g ’(x))=K=>

2) Существует

limx→x0(f (x)/ g (x))=K1= limx→x0 (f ’(x)/ g ’(x))

3) Функции удовлетворяют условиям теоремы Коши

Пример:

limx→0(sin3x/x)=[0/0]= limx→0(3cos3x/1)=3

Замечание 1

limx→x0f (x)=0, limx→x0 g (x) =0 – Верно

дает дост. Условие существования limxx0(f (x)/ g (x))

Достаточность – если теорема не выполняется, но рпедел есть.

Замечание 2

limxx0(f (x)/ g (x)) = limxx0 (f ’(x)/ g ’(x))= [0/0]= limxx0 (f ’’(x)/ g ’’(x))=…=K

Второе:

limxx0f (x)=∞, limxx0 g (x) =∞ |

Существуетf ’(x) g ’(x),в окрестностяхx0 | =>

limx→x0(f ’(x)/ g ’(x))=K1 |

=> limx→x0(f (x)/ g (x))=K

Пример:

limx→∞((x+cos x)/x)=[∞/∞]= limx→∞((1-sin x)/1)=?????

Дополнение к правилам Лопиталя

Иногда их применяют несколько раз.

Существуют и другие неопределенности: [1], [∞-∞], [00], [∞0], [0*∞], но они должны быть приведены к основным с помощью преобразований функции под знаком предела.



Вопрос 6

Формула Тейлора

Задается функция y=f(x) которая в x0 имеет все производные до n-го порядка f ‘(x0),…, f (n) (x0) –числа, причем f (n+1) (x) –существует в окрестнсти x0. f ‘(x0),…, f (n) (x0) –неприрывны в x0 и окрестностях. Функция f(x) n раз в x0 неприрывно диф-ма. При этих условиях ф-ю можно представить в виде (x0=a)

Rn(x)= (f(n+1)( Ѯ)/ n+1)*(x-a) n+1

Ѯ=x0+θ(x-a), 0<θ<1

Или F(x)=∑ n k=0 (f k(x0)/k!)* (x-a)k+ Rn(x)

Применение:

Формула Тейлора позволяет вычислять значения функции с любой точьностью.
Пусть известны значения f(a); f'(a); f"(a); f"'(a),...функции f(x) и её последовательный производных в начальной точке х=а. Требуется же найти значение функции при ином значении х.
Вомногих случаях для этого достаточно вычислить значение многочлена Тейлора:
f(a)+f'(a)/1!*(x-a)+f"(a)/2!*(x-a)^2+...+f(n)(a)/n!*(x-a)^n, взяв здесь два, три или большее число членов в зависимости от требуемой степени точности.

 

Осн. Разложения:

Оценка пограшности: (????????????????????????????)

Вопрос 7

Методы приближенного решения уравнений:


Эта страница нарушает авторские права

allrefrs.ru - 2017 год. Все права принадлежат их авторам!