Главная Обратная связь

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






Теорема о производной сложной функции



Вопрос 1

Производная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке). Пусть в некоторой окрестности точки x0ÎR определена функция f: U(x0)ÌR→R Производной функции называется такое число A, что функцию в окрестности U(x0) можно представить в виде f(x0+h) = f(x0)+Ah+o(h) если A существует. Определение производной функции через предел.Пусть в некоторой окрестности точки x0ÎR определена функция U(x0)ÌR→R Производной функции f в точке x0 называется предел, если он существует,

Задачи, приводящие к понятию производной

1. Задача о скорости движения. Рассмотрим уравнение неравномерного прямолинейного движения S=¦(t), определенного на множестве (a,b). Зафиксируем последовательно два момента времени t0 и t 1Î(a,b) и обозначим D t =t1 - t0. Средней скоростью движения, соответствующей некоторому промежутку времени t, называется отношение пройденного пути, за этот промежуток времени Vср.=∆S/∆t (2-66) Средняя скорость не характеризует движение в каждый момент времени. Для того чтобы найти скорость в данный момент t0, необходимо уменьшить промежуток времени t=t1-t0. Чем меньше промежуток, тем меньше средняя скорость отличается от скорости в данный момент времени, т. е. от мгновенной, точное значение скорости Vмгн. равно пределу∆S/∆t при , т. е. Vмгн. =limt→0∆S/∆t (2-67)

2. Задача о касательной. Пусть на множестве (a, b) задана функция y=¦(x). Отметили в декартовой ee системе координат XOY график в виде кривой К x0; Возьмем две точки М0 (¦(x0))и М1(x1;¦(x1)) и проведем через них секущую М0 М1, ее угол наклона обозначим через a1. Тогда, если точка М1, двигаясь по кривой будет приближаться к точке М0, положение секущей изменяется. Рис. 2.17. К задаче о секущей Когда точка М1 совместиться с М0, секущая превратиться в касательную. В этом случае limM1→M0 a1=a0, где a0 - угол наклона касательной. Из рисунка видно, что tga1=CM1|/׀CM0| = (f(x1)- f(x0))/(x1-x0) (2-68) т.к. x1-x0=D x- это приращение аргумента, ¦(x1)-¦(x0)=D y - приращение функции, то tga1= ∆y/∆x(2-69) Осуществляя предельный переход, когда М1 М0 limM1→M0 tga1= tg lim Ф1→Ф0 x→0 = tga0. (2-70) Учитывая (2-69), имеем lim ∆y/∆x = tga0 (2-71) Итак, тангенс угла наклона касательной tg a, равен пределу отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее, равно нулю. Тангенс угла наклона касательной показывает, во сколько раз быстрее изменяется функция по сравнению с изменением аргумента в точке касания, т.е. характеризует скорость процесса или явления, описываемого кривой К. Зная тангенсы углов наклона касательной к графику функции в двух различных точках, можно сравнивать ’’крутизну подъема’’ графика. Так в точке (x0,f(x0)) (см. рис.) касательная расположена ''круто'', т. е. тангенс угла наклона большой, функция изменяется быстро, тогда как в точке (x1,f(x1)) тангенс угла наклона касательной мал, функция изменяется медленно. В точках, где касательная горизонта (tg =0), изменение функции почти не происходит. Если касательная к графику функции в некоторой точке ^ к оси OX, то функция изменяется с бесконечно большой скоростью.



Геометрический смысл производной. Рассмотрим график функции y = f ( x ):


Из рис.1 видно, что для любых двух точек A и B графика функции:

 


где α - угол наклона секущей AB.

Таким образом, разностное отношение равно угловому коэффициенту секущей. Если зафиксировать точку A и двигать по направлению к ней точку B, то ∆xнеограниченно уменьшается и приближается к 0, а секущая АВ приближается к касательной АС. Следовательно, предел разностного отношения равен угловому коэффициенту касательной в точке A. Отсюда следует:производная функции в точке есть угловой коэффициент касательной к графику этой функции в этой точке.



Связь дифференцируемости с непрерывностью функции в точке.
Если функция y=y(x) дифференцируема в точке x0, то она и непрерывна в этой точке.
Справедливость утверждения следует из Δy=y/(x0)·Δx+α(Δx)·Δx и limΔx→0Δy=0, а по определению функция непрерывна, если малому приращению аргумента соответствует малое приращение функции.
Обратное утверждение не верно.
Например, функция y=∣x∣ непрерывна в точкеx=0, но не дифференцируема в этой точке.
Таким образом, не всякая непрерывная функция дифференцируема, а любая дифференцируемая функция непрерывна.

Если C— постоянное число и f=f(x), g=g(x) — некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования:

§ C’=0

§ X’=1

§ (f+g)’=f’+g’

§ (fg)’=f’g+fg’

§ (Cf)’=Cf’

§ (f/g)’=( f’g-fg’)/g2 (g ≠ 0)

§ (C/g)’= Cg’/g2 (g ≠ 0)

§ Если функция задана параметрически:

, то yx’=dy/dx*dt/dx=yt’*tx’= yt’/xt

§

Формулы производной произведения и отношения обобщаются на случай n-кратного дифференцирования (формула Лейбница):

где Ckn — биномиальные коэффициенты.

Следующие свойства производной служат дополнением к правилам дифференцирования:

§ если функция дифференцируема на интервале (a, b), то она непрерывна на интервале (a, b). Обратное, вообще говоря, неверно (например, функция y(x)=|x| на [-1, 1]);

§ если функция имеет локальный максимум/минимум при значении аргумента, равном x, то f ’(x)=0 ;

§ производная данной функции единственна, но у разных функций могут быть одинаковые производные.

§ (f(x)g(x))’=f(x)g(x)[g’(x)*ln(f(x)) + (g(x)*f ’(x))/f(x)] ("xÎDf : f(x)>0)

Теорема о производной сложной функции

Пусть y(x)=f(u(x)) и существует f’(u) и u’(x), если существует конечный limu→0(∆f(u)/∆u)=fu

По осн. теореме ∆f(u)/ ∆u= fu ’+α(x) – бм

∆f(u) = fu ’ ∆u +α(x) ∆u |*1/∆x

limx→0(∆f(u)/∆x)=f x’= f u’+ u x

Вопрос 2

Таблица производных

Производные простых функций

§

§

§

Вывод:

§ когда xc и cxc-1 определены, c≠0

Вывод:

§

Вывод: Так как , то пусть и

Тогда

§

§

§

§


Эта страница нарушает авторские права

allrefrs.ru - 2018 год. Все права принадлежат их авторам!