Главная Обратная связь

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






Интеграл как функция верхнего предела. Теорема Барроу



 

Интеграл с переменным верхним пределом.Значение определённого интеграла не зависит от того, какой буквой обозначена переменная интегрирования: (чтобы убедиться в этом, достаточно выписать интегральные суммы, они совпадают). В этом разделе переменную интегрирования будем обозначать буквой t, а буквой x обозначим верхний предел интегрирования. Будем считать, что верхний предел интеграла может меняться, т.е. что x - переменная, в результате интеграл будет функцией Ф(x) своего верхнего предела: . Легко доказать, что если f(t) интегрируема, то Ф(x) непрерывна, но для нас важнее следующая фундаментальная теорема:
Теорема об интеграле с переменным верхним пределом. Если функция f(t) непрерывна в окрестности точки t = x, то в этой точке функция Ф(x) дифференцируема, и .
Другими словами, производная определённого интеграла от непрерывной функции по верхнему пределу равна значению подынтегральной функции в этом пределе.
Док-во. Дадим верхнему пределу x приращение . Тогда , где c - точка, лежащая между x и (существование такой точки утверждается теоремой о среднем; цифры над знаком равенства - номер применённого свойства определённого интеграла). . Устремим . При этом (c- точка, расположенная между x и ). Так как f(t) непрерывна в точке t = x, то . Следовательно, существует , и . Теорема доказана.

Отметим первое важное следствие этой теоремы. По существу, мы доказали, что любая непрерывная функция f(x) имеет первообразную, и эта первообразная определяется формулой

 

36. Формула Ньютона-Лейбница.

 

Если f(x) непрерывна на отрезке [a, b], и F(x) - некоторая первообразная функции , то .
Док-во. Мы установили, что функция - первообразная непрерывной f(x). Так как F(x) - тоже первообразная, то Ф(x) = F(x) + C. Положим в этом равенстве x = a. Так как , то . В равенстве переобозначим переменные: для переменной интегрирования t вернёмся к обозначению x , верхний предел x обозначим b. Окончательно, .
Разность в правой части формулы Ньютона-Лейбница обозначается специальным символом: (здесь читается как "подстановка от a до b"), поэтому формулу Ньютона-Лейбница обычно записывают так: .

 

37. Интегрирование по частям и замена переменной в определённом интеграле.

 

Если u(x) и v(x) - две функции, заданные на промежутке [a, b] и имеющие там непрерывные производные, то

(24)

Формула (24) есть формула интегрирования по частям для определенных интегралов.



Доказательство очень просто. Именно,

Так как по формуле интегрирования по частям будет

то откуда и следует (24).

Пусть f(z) - непрерывная функция, заданная на промежутке [p, q], а φ(x) - непрерывная функция, заданная на промежутке [a, b], имеющая там непрерывную же производную φ'(x) и удовлетворяющая неравенству pφ(x) ≤ q.

В таком случае

(22)

Формула (22) выражает собой правило замены переменной в определенном интеграле. Оно напоминает правило замены переменной в интеграле неопределенном, но отличается от него тем, что здесь отпадает надобность в возвращении к старой переменной, т. к. формула (22) представляет собой равенство двух постоянных чисел. Заметим еще, что эта формула заменяет собой для случая определенных интегралов оба вида правила подстановки в интегралах неопределенных; только, применяя ее на практике, иной раз приходится читать ее слева направо, а иногда - справа налево.

Переходя к доказательству теоремы, обозначим интегралы, входящие в левую и правую части формулы (22), соответственно через Iлев и Iправ.

Пусть F(z) - функция первообразная для f(z). Тогда по формуле Ньютона-Лейбница/p>

Iправ = F[φ(b)] - F[φ(a)]. (23)

Что же касается Iлев, то

Но согласно теореме будет

Значит,

Iлев = F[φ(b)] - F[φ(a)].

Отсюда и из (23) следует, что Iлев = Iправ.

 

 

38. Интегралы от чётных, нечётных и периодических функций.

Теореиа 1. Пусть f(x) – интегрируемая на промежутке [-a,a] четная функция:

  f(–x) = f(x). (1)  

Тогда интеграл от f(x) в симметричных пределах равен удвоенному интегралу по половинному промежутку:



  (2)  

Для доказательства представим исходный интеграл в виде суммы двух интегралов:

  (3)  

Преобразуем первый интеграл в правой части этого равенства, выполнив подстановку x = – st:

  (4)  

Утверждение доказано.

Теореиа 2. Пусть f(x) – интегрируемая на промежутке [-a,a] нечетная функция:

  f(–x) = – f(x). (5)  

Тогда интеграл от f(x) в симметричных пределах равен нулю:

  (6)  

Теорема доказывается аналогичным образом:

 

Теореиа. Пусть f(x) – интегрируемая на промежутке [0,T] периодическая функция с периодом T:

  f(x + T) = f(x). (1)  

Тогда интеграл

  (2)  

не зависит от λ. В частности,

  (3)  


Доказательство 1. Представим рассматриваемый интеграл в виде суммы трех интегралов:

  (4)  

Вычислим производную по λ от выражения в правой части этого равенства:

  (5)  

Таким образом,

  (6)  

что и требовалось доказать.

Доказательство 2. Представим рассматриваемый интеграл в виде суммы (4) и преобразуем последний интеграл в правой части, выполнив замену переменной x = t + T. Очевидно, что этот интеграл лишь знаком отличается от первого интеграла в правой части равенства (4):

 

Несобственные интегралы

Несобственный интеграл с бесконечным пределом (ами) интегрирования

Иногда такой несобственный интеграл еще называют несобственным интегралом первого рода. В общем виде несобственный интеграл с бесконечным пределом чаще всего выглядит так: . В чем его отличие от определенного интеграла? В верхнем пределе. Он бесконечный: .

Реже встречаются интегралы с бесконечным нижним пределом или с двумя бесконечными пределами: .

Мы рассмотрим самый популярный случай . Техника работы с другими разновидностями – аналогична, и в конце параграфа будет ссылка на такие примеры.

Всегда ли существует несобственный интеграл ? Нет, не всегда.Подынтегральная функция должна быть непрерывной на промежутке

Справка: строго говоря, утверждение неверно: если есть разрывы функции, то в ряде случаев можно разбить полуинтервал на несколько частей и вычислить несколько несобственных интегралов. Для простоты здесь и далее я буду говорить, что несобственного интеграла не существует.

Изобразим на чертеже график подынтегральной функции . Типовой график и криволинейная трапеция для данного случая выглядит так:


Здесь всё хорошо, подынтегральная функция непрерывна на полуинтервале , а, значит, несобственный интеграл существует. Обратите внимание, что криволинейная трапеция у нас – бесконечная (не ограниченная справа) фигура.
Несобственный интеграл численно равен площади заштрихованной фигуры, при этом возможны два случая:

1) Первое, мысль, которая приходит в голову: «раз фигура бесконечная, то », иными словами, площадь тоже бесконечна. Так быть может. В этом случае говорят, что, что несобственный интеграл расходится.

2) Но. Как это ни парадоксально прозвучит, площадь бесконечной фигуры может равняться… конечному числу! Например: . Может ли так быть? Запросто. Во втором случае несобственный интеграл сходится.

В каких случаях несобственный интеграл расходится, а в каком сходится? Это зависит от подынтегральной функции , и конкретные примеры мы очень скоро рассмотрим.

А что будет, если бесконечная криволинейная трапеция расположена ниже оси? В этом случае, несобственный интеграл (расходится) либо равен конечному отрицательному числу.

Несобственный интеграл может быть отрицательным.

Важно! Когда Вам для решения предложен ЛЮБОЙ несобственный интеграл, то, вообще говоря, ни о какой площади речи не идет и чертежа строить не нужно. Ваша задача найти ЧИСЛО либо доказать, что несобственный интеграл расходится. Геометрический смысл несобственного интеграла я рассказал только для того, чтобы легче было понять материал.

Коль скоро, несобственный интеграл очень похож на определенный интеграл, то вспомним формулу Ньютона- Лейбница: . На самом деле формула применима и к несобственным интегралам, только ее нужно немного модифицировать. В чем отличие? В бесконечном верхнем пределе интегрирования: . Наверное, многие догадались, что это уже попахивает применением теории пределов, и формула запишется так: .


Эта страница нарушает авторские права

allrefrs.ru - 2018 год. Все права принадлежат их авторам!