Главная Обратная связь

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






Интегрирование рациональных функций



Достаточные условия экстремума.

1) Пусть x0 – критическая точка функции f(x) (f(x0)=0 или f’(x0) не существует).

! f(x) непрерывна в точке x0, тогда если:

а) имеет f’(x)>0 и имеет f’(x)<0 => x0 – точка максимума.

б) f’(x)<0 и f’(x)>0 => x0 – точка минимума.

в) если и , то f’(x) поменяет знак => не является точкой экстремума.

Доказательство:

а) По условию имеет f’(x)>0 => f(x)↑на (по теореме 1)

f(x)<f(x0), x≠x0

имеем f’(x)<0 => f(x)↓на (по теореме 1)

f(x0)>f(x), x≠x0

=> f(x0) > f(x) => x0 – точка максимума.

2) Если в точке и в точке , тогда если , то в точке функция имеет минимум; если , то в точке функция достигает максимум.

 

Направление выпуклости и точки перегиба кривой.

График функции y=f(x) называется выпуклым в (a,b), если функция лежит ниже новой касательной к графику функции, проведённой в любой точке, абсцисса которой принадлежит этому интервалу (a,b).

Касательная y(x) = y(x0)+y’(x0)(x-x0)

y(x) < Y(x) (a,b)

График функции y=f(x) вогнутый в (a,b), если Y(x) < y(x) (a,b) (график функции выше касательной).

Достаточное условие выпуклости функции:

Пусть 1) f(x) (a,b)

2) f’’(x) непрерывна в (a,b)

Тогда если f’’(x)>0 (a,b), то график y=f(x) вогнутый в (a,b); если f’’(x)<0, то график y=f(x) выпуклый в (a,b).

Точка перегиба: точка M0(x0,f(x0)) называется точкой перегиба графика функции y=f(x), если при переходе через точку М0 график функции меняет направление выпуклости.

Необходимое условие: если M0(x0,f(x0)) есть точка перегиба, то необходимо f’’(x0)=0 или f’’(x0) не существует.

Достаточное условие: пусть 1) функция f(x): (a,b) и a<x0<b;

2) производная f’’(x) непрерывна при кроме т.б. точки;

3) f’’(x0)=0 или f’’(x0) не существует;

4) и производная f’’(x) имеет разные знаки => точка M0(x0,f(x0)) – точка перегиба функции y=f(x).

Асимптоты.

Прямая называется наклонной асимптотой графика функции , если

Если для функции существуют пределы и , то функция имеет наклонную асимптоту при .

Для существования наклонной асимптоты к графику функции при ( ) необходимо и достаточно, чтобы выполнялись два условия:

1) ,2) .

Доказательство. Докажем необходимость, то есть если — наклонная асимптота к графику функции при ( ), то условия 1 и 2 выполняются. Условие 2 следует непосредственно из определения наклонной асимптоты, а условие 1 легко получается при делении на выражения, стоящего под знаком предела в этом определении. Доказательство достаточности проводится аналогично. Теорема доказана.



 

Прямая называется вертикальной асимптотой графика функции , если хотя бы одно из предельных значений или равно или .

Замечание. Прямая не может быть вертикальной асимптотой, если функция непрерывна в точке . Поэтому вертикальные асимптоты следует искать в точках разрыва функции.

Прямая называется горизонтальной асимптотой к графику функции при ( ), если .

Замечание. График функции может иметь только правую горизонтальную асимптоту или только левую.

 

Понятие первообразной. Неопределенный интеграл. Таблица интегралов.

Функция называется первообразной для функции на промежутке , конечном или бесконечном, если функция дифференцируема в каждой точке этого промежутка и ее производная удовлетворяет следующему равенству:

Теорема: Если функция является первообразной для функции на некотором промежутке, то и функция , где - произвольная постоянная, также будет первообразной для функции на рассматриваемом промежутке.

Доказательство:

Пусть F`(х) = f (х), тогда (F(х)+С)`= F`(х)+С`= f (х), для х Є J.
Допустим существует Φ(х)- другая первообразная для f (х) на промежутке J, т.е. Φ`(х) = f (х),
тогда (Φ(х)- F(х))` = f (х) – f (х) = 0, для х Є J.
Это означает, что Φ(х)- F(х) постоянна на промежутке J.
Следовательно, Φ(х)- F(х) = С.
Откуда Φ(х)= F(х)+С.
Это значит, что если F(х) - первообразная для функции f (х) на промежутке J, то множество всех первообразных этой функции имеет вид: F(х)+С, где С - любое действительное число.
Следовательно, любые две первообразные данной функции отличаются друг от друга постоянным слагаемым.



 

Множество первообразных функции f(x) называется неопределённым интегралом от этой функции и обозначается символом .

Замечание: Согласно теореме, неопределенный интеграл существует, если f(x) непрерывна на (a,b). Некоторые интегралы не выражаются через элементарные функции (“неберущиеся интегралы”).

1.

2.

3.

4.

5.

6.

 

28. Свойства неопределённого интеграла:

 

Доказательство свойств 1, 2, 3 следует из определения => y = F(x)+C => y’(x) = (F(x)+C)’

Доказательство 4: продифференцируем левую и правую части равенства

29. Замена переменной в неопределённом интеграле:

а) Линейные подстановки.

(kx+a)’=k*1=k => k, a = const (k≠0)

d(kx+a)=(kx+a)’dx=kdx => dx= d(kx+a)

.

б) Замена переменной.

Теорема: Пусть функция f(x) непрерывна на (a,b). Положим , где функция имеет непрерывную производную и обратима (

Тогда

Доказательство: продифференцируем левую и правую части равенства.

=>

Заметим, что => 1=

Подставим:

Интегрирование по частям.

Пусть

u=u(x), v=v(x)

— функции, дифференцируемые на некотором промежутке X.

. Тогда, как известно, дифференциал произведения этих функций вычисляется по формуле

d(uv)=udv+vdu.

Взяв неопределенный интеграл от обеих частей этого равенства, получим:

∫d(uv)=∫(udv+vdu).

Так как

∫d(uv)=uv+C, а

∫(udv+vdu)=∫udv+∫vdu, то получаем:

uv+C=∫udv+∫vdu, откуда

∫udv=uv+C−∫vdu.

Поскольку ∫vdu уже содержит произвольную постоянную, в правой части полученного равенства C можно опустить и записать равенство в виде

 

∫udv=uv−∫vdu.

Полученная формула называется формулой интегрирования по частям.

 

Интегрирование рациональных функций.

 

Функция называется рациональной, если ее можно представить в виде отношения двух многочленов. Например, если R(x) — рациональная функция одной переменной x, то

  R(x) =
am xm + am − 1 xm − 1 + … + a1 x + a0
bn xn + bn − 1 xn − 1 + … + b1 x + b0

Pm(x)
Qn(x)

.

 

Здесь, как обычно, индексы у Pm(x) и Qn(x) указывают степени этих многочленов.(проинтегрируем)

 

Теорема:

Неопределённый интеграл от любой вещественной рациональной дроби выражается через элементарные функции (т.е. «берущийся интеграл»).

Если дробь сократима, то сократить (общие множители Pn(x) и Qm(x)).

Если дробь неправильная (m≥n), то разделить числители на знаменатель.

Интегрирование правильных дробей.

а) Если дробь не простейшая, то разложить на простейшие дроби.

б) Представить правильную дробь в виде суммы простейших дробей, неопределенный коэффициент. Эти коэффициенты находим методом неопр. коэффициентов.

Элементарными (простейшими) рациональными дробями именуют рациональные дроби четырёх типов:

A/(x−a);

A/(x−a)n (n=2,3,4,…);

Mx+N/x2+px+q (p2−4q<0);

Mx+N/(x2+px+q)n (p2−4q<0; n=2,3,4,…).

 

I. ;

II.

 

III.

Действительно, для этого частного случая простейшей дроби типа III получаем

, или ,

где , откуда

Классы функций, приводимых к рациональным дробям с помощью замены переменных.

P(x,y,z) – рациональная функция от x,y,z.

Подстановка.

ax+b=tk, где k – наименьшее общее кратное чисел α1,…,αn.

x =

dx =

Универсальная подстановка:

Имеем

 

Пример:

 

 

32. Понятие определённого интеграла. Геометрический смысл интеграла.

Определение определённого интеграла. Пусть на отрезке [a,b] задана функция y = f(x). Разобьём отрезок [a,b] произвольным образом на n частей точками [x0 , x1], [x1 , x2], …, [xi-1 , xi], …, [xn-1 , xn]; длину i-го отрезка обозначим : ; максимальную из длин отрезков обозначим . На каждом из отрезков [xi-1 , xi] выберем произвольную точку и составим сумму .
Сумма называется интегральной суммой. Если существует (конечный) предел последовательности интегральных сумм при , не зависящий ни от способа разбиения отрезка[a,b] на части [xi-1 , xi], ни от выбора точек , то функция f(x) называется интегрируемой по отрезку [a,b], а этот предел называется определённым интегралом от функции f(x) по отрезку [a,b] и обозначается .
Функция f(x), как и в случае неопределённого интеграла, называется подынтегральной, числа a и b - соответственно, нижним и верхним пределами интегрирования.
Кратко определение иногда записывают так: .
В этом определении предполагается, что b> a. Для других случаев примем, тоже по определению:
Если b=a, то ; если b<a, то .

Определённый интеграл есть конечный предел суммы Римана (интегральных сумм).

Теорема 1. Если f(x) и g(x) - две непрерывные функции, заданные на промежутке [a, b], то

т. е. интеграл суммы равен сумме интегралов слагаемых.

В самом деле, составляя интегральную сумму для функции f(x) + g(x), очевидно, будем иметь

после чего остается перейти к пределу при λ → 0.

Аналогично доказывается

Теорема 2. Если f(x) - непрерывная функция, а c - постоянное число, то

т. е. постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.

Теорема 3. Пусть f(x) непрерывна на промежутке [a, b]. Если этот промежуток точкой c разложен на части [a, c] и [c, b], то интеграл по всему промежутку оказывается равным сумме интегралов по его частям, т. е.

В самом деле, будем при раздроблении промежутка [a, b] на части включать c в число точек деления. Если c = xm, то

Каждая из написанных здесь трех сумм является интегральной суммой соответственно для промежутков [a, b], [a, c] и [c, b]. Остается перейти к пределу при λ → 0.

11.1.4. Геометрический смысл определённого интеграла. Как следует из пункта 11.1.1, если f(x) >0 на отрезке [a,b], то равен площади криволинейной трапеции ABCD, ограниченной снизу отрезком [a,b], слева и справа - прямыми x = a и x = b, сверху – функцией y = f(x).11.1.4. Геометрический смысл определённого интеграла. Как следует из пункта 11.1.1, если f(x) >0 на отрезке [a,b], то равен площади криволинейной трапеции ABCD, ограниченной снизу отрезком [a,b], слева и справа - прямыми x = a и x = b, сверху – функцией y = f(x).

 

Теорема о среднем значении.

Теорема 5. Если f(x) - непрерывная функция, заданная на промежутке [a, b], то существует такая точка , что

(14)

В самом деле, пусть M и m наибольшее и наименьшее значения f(x) на промежутке [a, b]. Составим для f(x) какую-нибудь интегральную сумму

Так как при всех k будет mf(ξk) ≤ M, а xk+1 > xk, то m(xk+1 - xk) ≤ M(xk+1 - xk). Складывая такие неравенства и замечая, что

получим:

m(b - a) ≤ σM(b - a).

Переходя в этом неравенстве к пределу при λ → 0, приходим после деления на b - a к новому неравенству

Таким образом, частное

есть число, лежащее между наибольшим и наименьшим значениями непрерывной функции. Как известно, тогда и само это число должно являться одним из значений той же функции. Поэтому в [a, b] обязательно существует такая точка ξ, что h = f(ξ), а это равносильно равенству (14).

Заметим, что равенство (14) справедливо не только при a < b, но и при a = b (тогда обе части этого равенства нули), а также и при a > b (этот случай приводится к рассмотренному изменением знаков). В первом из этих случаев будет ξ = a, а во втором aξb.

Теорему 5 обычно называют теоремой о среднем значении. Из нее вытекает ряд свойств интеграла, выражающихся неравенствами

 

 


Эта страница нарушает авторские права

allrefrs.ru - 2018 год. Все права принадлежат их авторам!