Главная Обратная связь

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






Посилений закон великих чисел



Білет №18

1.Граничні теореми теорії ймовірностей. Збіжність за ймовірністю та збіжність з імовірністю. Лема Бореля-Кантеллі . Посилений закон великих чисел.

Центральна гранична теорема

Розглядається один із найпростіших варіантів цієї теореми.

Теорема. Нехай задано n незалежних випадкових величин Х1, Х2, … Хn, кожна із яких має один і той самий закон розподілу ймовірностей із M(Хi) = 0, s (Х) = s і при цьому існує за абсолютною величиною початковий момент третього порядку , тоді зі зростанням числа n закон розподілу наближатиметься до нормального.

Теорема Бернуллі

Якщо ймовірність появи випадкової події А в кожному з n незалежних експериментів є величиною сталою і дорівнює р, то при необмеженому збільшенні числа експериментів n ® ¥ імовірність відхилення відносної частоти появи випадкової події W(A) від імовірності р, взятої за абсолютною величиною на e (e > 0) прямуватиме до одиниці зі зростанням n, що можна записати так:

(332)

Доведення. Оскільки W(A) = m / n,де m — число експериментів — яких випадкова подія А спостерігалась, n — загальне
число проведених експериментів, то ми можемо записати, що , де Хі — дискретна випадкова величина, яка може набувати лише одного з можливих значень: 0 або 1. У табличній формі закон дискретної випадкової величини Хі можна записати так:

хі
рі q p

Числові характеристики Хі:

M(Xi) = 0 q + 1 p = p;

M(X2i) = p;

D(Xi) = M(X2i) – M2(Xi) = pp2 = p(1 – p) = pq.

Нерівність Чебишова для теореми Бернуллі матиме такий вигляд:

. (333)

Отже, доведено, що

Теорема Муавра—Лапласа

У загальному випадку випадкові величини Х1, Х2, … Хn, що розглядаються в центральній граничній теоремі, можуть мати довільні закони розподілу.

Якщо Хі є дискретними і мають лише два значення: P (Хі = 0) = q, P (Xі = 1) = p, то приходимо до теореми Муавра—Лапласа, яка є найпростішим випадком центральної граничної теореми.

Якщо здійснюється n незалежних експериментів, у кожному з яких імовірність появи випадкової події А є величиною сталою і дорівнює p, то для інтервалу [a; b) справедлива рівність:

(348)

Доведення. Нехай проводиться n незалежних експериментів, у кожному з яких випадкова подія А може здійснитися зі сталою ймовірністю р. Тоді — поява випадкової події в n експериментах є випадковою величиною із числовими характеристиками:

M (Y) = np, D (Y) = npq, .



На підставі центральної граничної теореми розподіл випадкової величини Y зі зростанням n наближатиметься до нормального. Тому для обчислення ймовірності події a < Y < b використовується формула (261): що і треба було довести.

Теорема Чебишова

Нехай задано n незалежних випадкових величин X1, X2, … Xn, які мають обмежені M (Хі)(і = 1,…, n) і дисперсії яких D(Хі) не перевищують деякої сталої С (С > 0), тобто D(Хі) £ C. Тоді для будь-якого малого додатного числа e імовірність відхилення середнього арифметичного цих величин

від середнього арифметичного їх математичних сподівань

,

взятого за абсолютним значенням на величину e, прямуватиме до одиниці зі збільшенням числа n:

або

. (331)

Збіжність за мірою (за ймовірностю)— це вид збіжності вимірних функцій (випадкових величин) заданих на просторі з мірою (ймовірнісному просторі).

Хай — простір з мірою. Хай — вимірні функції на цьому просторі. Говорять, що послідовність функцій збігається за мірою до функції , якщо: .

Позначення: .

У термінах теорії ймовірності, якщо даний імовірнісний простір з визначеними на ньому випадковими величинами , то говорять, що збігається за ймовірностю до , якщо

.Позначення: .

Збіжність за розподілом в теорії ймовірностей — вид збіжності випадкових величин.

Нехай дано ймовірнісний простір і на ньому визначені випадкові величини . Кожна випадкова величина індукує ймовірнісну міру на , що називається розподілом.

Випадкові величини збігаються за розподілом до випадкової величини , якщо розподіли слабко збігаються до розподілу , тобто

для будь-якої борелевої функції .

Посилений закон великих чисел.

Послідовність випадкових величин { ,n }- збігається з ймовірністю 1 до величини , якщо ймовірність всіх тих точок , для яких не існує,



або , дорівнює нулю, тобто якщо Р{{ .

Розглянемо послідовність випадкових величин k з скінченими математичними сподіваннями. Теореми, які стверджують, що різниця збігається з ймовірністю 1 до нуля, називається посиленим законом великих чисел. Нижче приводиться дві теореми про посилений закон великих чисел, обидві вони доведені.

Теорема 1. Нехай n – послідовність незалежних випадкових величин, для яких М , D визначені. Якщо

, то Р { - )=0}=1.

Наслідок ( теорема Бореля ). Припустимо, що розглядається послідовність незалежних випробувань, в кожному з яких з’являеться успіх У з ймовірністю р або невдача Н з ймовірністью q=1-p. Нехай - число успіхів при n випробуваннях. Тоді Р{ }=1.

Це випливає з того, що = , де k- послідовність незалежних випадкових величин введених при доведенні теореми Бернуллі.

Теорема 2.Нехай -послідовністьнезалежних одинаково розподілених величин з скінченимматематичним сподіванням М =а. Тоді

Р { =а}=1.

Лема Бореля-Кантеллі

Перша Лема:

Нехай задано ймовірнісний простір і послідовність подій

Позначимо

Тоді якщо ряд є збіжним, то

Доведення.

Спершу зазначимо, що . Тому згідно з властивостями ймовірності маємо для усіх к:

Остання границя пояснюється тим, що сума залишкових членів збіжного ряду прямує до нуля. З виведених нерівностей одержуємо твердження теореми.

Друга Лема.

Якщо всі події сумісно незалежні, і ряд є розбіжним, то

Доведення.

Достатньо довести, що для всіх к виконується: . Справді ймовірність перетину тоді теж буде рівною одиниці.

Отже зафіксуємо К і розглянемо часткове об’єднання до деякого

Оскільки доповнення незалежних подій теж є незалежним, маємо

Зважаючи, що маємо

Останній вираз згідно з припущенням леми прямує до нуля при тому:

Однак виконується

звідки при отримаємо бажаний результат.

 


Эта страница нарушает авторские права

allrefrs.ru - 2018 год. Все права принадлежат их авторам!