Главная Обратная связь

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






Теорема 3.Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон



Следствие 4. Для любых трех точек А, В и С, не лежащих на одной прямой, справедливы неравенства:
АВ < АС + СВ, АС < АВ + ВС, ВС < ВА + АС.

Каждое из этих неравенств называется неравенством треугольника.

 

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

где R - радиус описанной окружности.

Теорема косинусов

Теорема. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Решить треугольник - значит найти все его шесть элементов: три стороны и три угла.

Длина высоты, медианы, биссектрисы

Длина высоты треугольника АВС, проведенной из вершины А определяется по формуле:

Длина медианы треугольника АВС, проведенной из вершины А определяется по формуле:

Длина биссектрисы треугольника АВС, проведенной из вершины А определяется по формуле:

Если a1, a2 являются длинами отрезков, на которые биссектриса угла А делит сторону ВС, то

Замечательные точки и линии треугольника
Точка пересечения биссектрис Биссектрисойтреугольника называется отрезок биссектрисы любого угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны. Любой треугольник имеет три биссектрисы.

Теорема:Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство: Обозначим буквой Оточку пересечения биссектрис АА1 и ВВ1 треугольника ABCи проведем из этой точки перпендикуляры OK, OL и ОМсоответственно к прямым АВ, ВС и СА. По теореме каждая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена от его сторон, значит ОК=ОМи OK=OL.Поэтому ОМ = OL,т. е. точка О равноудалена от сторон угла АСВи, значит, лежит на биссектрисе CС1 этого угла. Следовательно, все три биссектрисы треугольника ABC пересекаются в точке О,что и требовалось доказать.

Точка пересечения высот. Высотой называют перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.

Теорема:Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.

Точка пересечения медиан. Медианойназывается отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Теорема:медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Точка пересечения серединных перпендикуляров. Серединным перпендикуляромназывается прямая, проходящая через середину данного отрезка и перпендикулярная к нему.



Теорема:серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.

Пусть дан треугольник ABC. ^ Точкой Торричелли этого треугольника называется такая точка О внутри треугольника, из которой стороны данного треугольника видны под углом 120° , то есть углы АОВ, АОС и ВОС равны 120°.

Пусть в треугольнике АВСН - точка пересечения высот треугольника; точки A1, B1, C1 обозначают основания высот; А2, В2, С2 — середины соответствующих сторон; А3, В3, С3 — середины отрезков АН, ВН и СН. Тогда точки А1, В1, С1, А2, В2, С2, А3, В3, С3 лежат на одной окружности, называемой окружностью девяти точек или окружностью Эйлера.

В треугольнике центр описанной окружности, точка пересечения медиан, точка пересечения высот и центр окружности девяти точек лежат на одной прямой, называемой прямой Эйлера.

 

2.решение треугольника


Эта страница нарушает авторские права

allrefrs.ru - 2018 год. Все права принадлежат их авторам!