Главная Обратная связь

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






Формула Тейлора с остаточным членов в форме Лагранжа и Пеано



представление многочлена в форме Тейлора:

Pn(x)=a0+a1x+…+anxn=c0+c1(x-x)+c2(x-x)2 +…+cn(x-x)n

 

f(x)=f(x0)+f |(x)(x-x0)/1!+ f ||(x)(x-x0)2/2! +…+ f (n)(x0)(x-x0)n/n!+ f (n+1)(c)(x-x0)n+1/(n+1)!

формула Тейлора с останочным членом в форме Лагранжа

f(x)=f(x0)+f |(x)/1!+…+

f (n)(x0)(x-x0)n/n!+O(x+x0)n

формула Тейлора с останочным членом в форме Пеано

 
 

Теорема №1: Если функция f имеет в окрестности точки x0 непрерывную производную fn+1(х), то для любо­го х из этой окрестности найдется точка сÎ(х0,х) такая, что f(x) можно записать по формуле

Здесь с зависит от х и n. Если точка х0=0, то формулу (3') наз. формулой Маклорена. Известны и другие формы остаточного члена формулы Тейлора. Большое значение имеет форма Коши

где q(0<q<1) зависит от n и х. Уменьшая окрестность точки, получим, что произ­водная f(n+l)(x) есть непрерывная функция от х на замк­нутом отрезке [x0–d,x0+d]. Но тогда она ограничена на этом отрезке:

|f(n+1)(x)|£Mn (x0–d£x£x0+d) {2}. Здесь Mn –положительное число, не зависящее от указанных х, но, вообще говоря, завися­щее от n. Тогда

 
 

Неравенство {3} можно использовать в двух целях: для того чтобы исследовать поведение rn(х) при фиксиро­ванном n в окрестности точки и для того, чтобы иссле­довать поведение rn(х) при n®¥. Из {3}, например, следует, что при фиксированном n имеет место свойство rn(x)=o((x–x0)n), x®x0 {4}, показывающее, что если rn(х) разделить на (х–x0)n, то полученное частное будет продолжать стремиться к нулю при x®x0. В силу (13) из (8') следует:

Эта формула наз. формулой Тейлора с оста­точным членом в смысле Пеано. Она приспособлена для изучения функции f в окрестности точки x0.

Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа:

Рассмотрим любую функцию f(x), которая имеет непрерывные производные всех порядков до (n+1)-го в некоторой окрестности точки x0. Мы можем формально составить многочлен

который наз. многочленом Тейлора n-й степени или n-м многочленом Тейлора функции f по степеням х–x0. Многочлен Qn(x) совпадает с функцией f(х) в точке x0 но для всех х он не равен f(х) (если f(х) не является многочленом степени n). Кроме того, Q'n(x0)=f'(x0),...,Q(n)n(x0)=f(n)(x0) {2}. Положим f(x)=Qn(x)+rn(x) {3}. Формула {3} носит название формулы Тейлора для функ­ции f(x); rn(х) наз. остаточным членом формулы Тейлора, – подробнее, n-м остаточным членом формулы Тейлора функции f пo степеням х–x0. Функция rn(х) показывает, какую погрешность мы допускаем при замене f(x) на многочлен Тейлора {1}.



Найдем выражение для rn(х) через производную f(n+1)(х). В силу {2} и {3} rn(x0)=r'n(x0)=...=r(n)n(x0)=0. Положим j(х)=(х–x0)n+1. Ясно, что j(x0)=j(x0)=...=j(n)(x0)=0. Применяя теорему Коши к функциям rn(х) и j(x), будем иметь

 

Формула (3') наз. формулой Тейлора с остаточ­ным членом в форме Лагранжа.

18. Разложение функций по формуле Тейлора(sinx, cosx, expx, ln(1+x), arctgx, (1+x)a)

- y=sinx

x0=0

y|=cosx y|(0)=1

y||=-sinx y||(0)=0

y

Cosx y(0)=-1 y|V=sinx y|V(0)=0 sinx=x-x3/3!+x5/5!-…+ (-1)x2n-1/(2n-1)!+O(x2n-1) - y=cosx cosx=1-x2/2!+x4/4!-…+(-1)mx2m/(2m)!+r2m+1 - y=ln(1+x) ln(1+x)=x-x2/2+x3/3-…+(-1)n-1xn/n+rn(x) - y=arctgx arctgx=x-x3/3+x5/5-…+ (-1)m-1x2m-1/(2m-1)+r2m(x) - y=ex ex=1+x/1!+x2/2!+…+xn/n!+O(xn) - y=(1+x)a (1+x)a=1+ax+a(a-1)x2/1*2+…+ a(a-1)…(a-n+1)xn/1*2*…*n+rn(x)   1)y=ex, x0=0 y(0)=1 y’(0)=ex|x=0=1 y’’(0)=ex|x=0=1 y(n)(0)=ex|x=0=1 n=1 ex=1+x+o(x),x®x0 2) y=sinx, x0=0 y(0)=0 y’(0)=cos|x=0=1 y’’(0)=-sinx|x=0=0 y’’’(0)=-cosx|x=0=-1 y’’’’(0)=sinx|x=0=0 если n – чётное, то y(n)(0)=0; n=2k+1 – нечётное y(n)(0)=(-1)k   3) y=cosx, x0=0 y(0)=1 y’(0)=-sinx|x=0=0 * y’’(0)=-cosx|x=0=-1 y’’’(0)=sinx|x=0=0 y’’’’(0)=cosx|x=0=1 если n=2k – чётное, то y(n)(0)=(-1)k; n=2k+1 – нечётное y(n)(0)=0 4) y=ln(1+x), x0=0 y(0)=ln1=0 y’(0)=1/(1+x)|x=0=1 y’’(0)=1(-1)/(x+1)2|x=0=-1 y’’’(0)=(-1)(-2)/(x+1)3|x=0=(-1)(-2) y’’’’(0)= (-1)(-2)(-3)/(x+1)4|x=0=(-1)(-2)(-3) y(n)=[(-1)(-2)(-3)…(-n+1)]/(1+x)n|x=0=(-1)n-11·2·3…(n-1)=(-1)n-1(n-1)!         5) y=(1+x)p, x0=0 y(0)=1 y’(0)=p(1+x)p-1|x=0=p y’’(0)= p(p-1)(1+x)p-2|x=0=p(p-1) y’’’(0)= p(p-1)(p-2)(1+x)p-3|x=0=p(p-1)(p-2) y(n)=p(p-1)(p-2)…(p-n+1)(1+x)p-n|x=0=p(p-1)(p-2)…(p-n+1) Если р – натуральное, то y(n)(0)=0 n³p+1 (либо n<p, если p-натуральное)   * o’º1 x2n+2=x·x2n+1=o(x2n+1)




Эта страница нарушает авторские права

allrefrs.ru - 2018 год. Все права принадлежат их авторам!